Номер 162, страница 25, часть 1 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Парфентьева

Часть 1. 10 класс. Механика. Динамика. Законы механики Ньютона. Геоцентрическая система отсчёта - номер 162, страница 25.

Условие.

162. H Мяч брошен под углом $ \alpha $ к горизонту со скоростью $ v_0 $. Выберите две системы отсчёта для рассмотрения движения мяча и докажите, что скорость мяча — неинвариантная величина.

Решение.

Дано:

Мяч брошен со скоростью $v_0$ под углом $\alpha$ к горизонту.

Найти:

Доказать, что скорость мяча — неинвариантная величина.

Решение:

Для доказательства того, что скорость является неинвариантной величиной, необходимо показать, что она будет различной в разных системах отсчета. Выберем две инерциальные системы отсчета:

1. Система отсчета K (неподвижная), связанная с Землей. Начало координат находится в точке броска, ось $OX$ направлена горизонтально, а ось $OY$ — вертикально вверх.

2. Система отсчета K' (подвижная), которая движется относительно системы K с некоторой постоянной скоростью $\vec{u}$ вдоль оси $OX$. То есть, вектор скорости системы K' относительно K равен $\vec{u} = (u, 0)$.

Рассмотрим движение мяча в каждой из этих систем отсчета.

В системе отсчета K (связанной с Землей):

Начальная скорость мяча $\vec{v}_0$ имеет следующие проекции на оси координат:

$v_{0x} = v_0 \cos(\alpha)$

$v_{0y} = v_0 \sin(\alpha)$

На мяч действует только сила тяжести, поэтому он движется с ускорением свободного падения $\vec{g}$, направленным вертикально вниз, $\vec{g} = (0, -g)$.
Скорость мяча в любой момент времени $\text{t}$ в системе К определяется вектором $\vec{v}(t)$ с компонентами:

$v_x(t) = v_{0x} = v_0 \cos(\alpha)$

$v_y(t) = v_{0y} - gt = v_0 \sin(\alpha) - gt$

Таким образом, вектор скорости в неподвижной системе отсчета K равен:

$\vec{v}(t) = (v_0 \cos(\alpha), v_0 \sin(\alpha) - gt)$

В системе отсчета K' (движущейся со скоростью $\vec{u}$):

Согласно классическому закону сложения скоростей (преобразования Галилея), скорость тела $\vec{v'}$ в движущейся системе отсчета K' связана со скоростью $\vec{v}$ в неподвижной системе K и скоростью самой системы K' ($\vec{u}$) следующим соотношением:

$\vec{v'} = \vec{v} - \vec{u}$

Найдем компоненты скорости мяча $\vec{v'}(t)$ в системе K':

$v'_x(t) = v_x(t) - u_x = v_0 \cos(\alpha) - u$

$v'_y(t) = v_y(t) - u_y = (v_0 \sin(\alpha) - gt) - 0 = v_0 \sin(\alpha) - gt$

Таким образом, вектор скорости в движущейся системе отсчета K' равен:

$\vec{v'}(t) = (v_0 \cos(\alpha) - u, v_0 \sin(\alpha) - gt)$

Сравнение и вывод:

Сравним векторы скорости в двух системах отсчета:

$\vec{v}(t) = (v_0 \cos(\alpha), v_0 \sin(\alpha) - gt)$

$\vec{v'}(t) = (v_0 \cos(\alpha) - u, v_0 \sin(\alpha) - gt)$

Очевидно, что если скорость подвижной системы отсчета $u \neq 0$, то $\vec{v}(t) \neq \vec{v'}(t)$, так как их горизонтальные компоненты различны.
Поскольку скорость мяча имеет разные значения в разных инерциальных системах отсчета, она не является инвариантной величиной (т.е. зависит от выбора системы отсчета). Это и требовалось доказать.

Ответ:

Мы выбрали две инерциальные системы отсчета: одну, связанную с Землей (неподвижную), и вторую, движущуюся относительно первой с постоянной горизонтальной скоростью $\text{u}$. Скорость мяча в первой системе в момент времени $\text{t}$ равна $\vec{v}(t) = (v_0 \cos(\alpha), v_0 \sin(\alpha) - gt)$, а во второй — $\vec{v'}(t) = (v_0 \cos(\alpha) - u, v_0 \sin(\alpha) - gt)$. Так как при $u \neq 0$ векторы $\vec{v}(t)$ и $\vec{v'}(t)$ не равны, скорость зависит от выбора системы отсчета и, следовательно, является неинвариантной величиной.