Номер 167, страница 26, часть 1 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Парфентьева

Часть 1. 10 класс. Механика. Динамика. Силы в механике. Гравитационные силы. Закон всемирного тяготения. Первая космическая скорость - номер 167, страница 26.

Условие.

167. [143] Вокруг планеты, имеющей форму шара радиусом $\text{R}$, по круговой орбите движется спутник. Определите радиус $\text{r}$ орбиты спутника, считая, что ускорение свободного падения у поверхности планеты $\text{g}$ и период обращения спутника $\text{T}$.

Решение.

Дано:

R - радиус планеты

g - ускорение свободного падения у поверхности планеты

T - период обращения спутника

Найти:

r - радиус орбиты спутника

Решение:

Спутник движется по круговой орбите под действием силы всемирного тяготения, которая сообщает ему центростремительное ускорение. Согласно второму закону Ньютона:

$F_{гр} = ma_{ц}$

где $F_{гр}$ - сила гравитационного притяжения спутника к планете, $\text{m}$ - масса спутника, $a_{ц}$ - центростремительное ускорение.

Сила гравитационного притяжения определяется законом всемирного тяготения:

$F_{гр} = G \frac{Mm}{r^2}$

где $\text{G}$ - гравитационная постоянная, $\text{M}$ - масса планеты, $\text{r}$ - радиус орбиты спутника (расстояние от центра планеты до спутника).

Центростремительное ускорение можно выразить через период обращения $\text{T}$:

$a_{ц} = \omega^2 r = \left(\frac{2\pi}{T}\right)^2 r = \frac{4\pi^2 r}{T^2}$

Приравняем выражения для силы:

$G \frac{Mm}{r^2} = m \frac{4\pi^2 r}{T^2}$

Сократим массу спутника $\text{m}$:

$G \frac{M}{r^2} = \frac{4\pi^2 r}{T^2}$

Ускорение свободного падения $\text{g}$ у поверхности планеты (на расстоянии $\text{R}$ от её центра) связано с массой планеты $\text{M}$ следующим соотношением:

$g = G \frac{M}{R^2}$

Отсюда можно выразить произведение $GM$:

$GM = gR^2$

Подставим это выражение в уравнение движения спутника:

$\frac{gR^2}{r^2} = \frac{4\pi^2 r}{T^2}$

Теперь выразим радиус орбиты $\text{r}$. Для этого перегруппируем члены уравнения, чтобы выделить $r^3$:

$gR^2T^2 = 4\pi^2 r^3$

$r^3 = \frac{gR^2T^2}{4\pi^2}$

Извлекая кубический корень из обеих частей, получаем итоговую формулу для радиуса орбиты:

$r = \sqrt[3]{\frac{gR^2T^2}{4\pi^2}}$

Ответ: $r = \sqrt[3]{\frac{gR^2T^2}{4\pi^2}}$