Номер 169, страница 26, часть 1 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Парфентьева

Часть 1. 10 класс. Механика. Динамика. Силы в механике. Гравитационные силы. Закон всемирного тяготения. Первая космическая скорость - номер 169, страница 26.

Условие.

169. [145] Искусственный спутник Земли запущен с экватора и вращается по круговой орбите в плоскости экватора в направлении осевого вращения Земли. Радиус орбиты спутника в 2 раза больше радиуса Земли. Через какой промежуток времени спутник в первый раз пройдёт над точкой запуска?

Решение.

Дано:

$R_С = 2R_З$ – радиус орбиты спутника

$T_З = 24 \text{ часа}$ – период осевого вращения Земли

Примем справочные значения:

$R_З \approx 6400 \text{ км}$ – средний радиус Земли

$g \approx 9.8 \text{ м/с}^2$ – ускорение свободного падения у поверхности Земли

$R_З = 6400 \text{ км} = 6.4 \cdot 10^6 \text{ м}$

$T_З = 24 \text{ ч} = 24 \cdot 3600 \text{ с} = 86400 \text{ с}$

Найти:

$\text{t}$ – промежуток времени, через который спутник в первый раз пройдёт над точкой запуска.

Решение:

Спутник и точка запуска на экваторе вращаются в одном направлении. Чтобы спутник снова оказался над точкой запуска, он должен совершить один полный оборот относительно этой точки. Это означает, что угловое перемещение спутника должно быть на $2\pi$ радиан больше, чем угловое перемещение точки запуска.

Пусть $ω_С$ – угловая скорость спутника, а $ω_З$ – угловая скорость вращения Земли. Относительная угловая скорость спутника $ω_{отн}$ равна:

$ω_{отн} = ω_С - ω_З$

Время $\text{t}$, за которое спутник совершит один оборот относительно точки на Земле, равно:

$t = \frac{2\pi}{ω_{отн}} = \frac{2\pi}{ω_С - ω_З}$

Выразим угловые скорости через периоды обращения $T_С$ и $T_З$:

$ω_С = \frac{2\pi}{T_С}$, $ω_З = \frac{2\pi}{T_З}$

Подставим в формулу для времени $\text{t}$:

$t = \frac{2\pi}{\frac{2\pi}{T_С} - \frac{2\pi}{T_З}} = \frac{1}{\frac{1}{T_С} - \frac{1}{T_З}} = \frac{T_С T_З}{T_З - T_С}$

Период вращения Земли $T_З$ известен. Найдем период обращения спутника $T_С$.

Спутник движется по круговой орбите под действием силы тяготения, которая сообщает ему центростремительное ускорение. По второму закону Ньютона:

$F_G = ma_c$

$G \frac{M_З m}{R_С^2} = m \frac{v_С^2}{R_С}$

где $\text{G}$ – гравитационная постоянная, $M_З$ – масса Земли, $\text{m}$ – масса спутника, $v_С$ – орбитальная скорость спутника, $R_С$ – радиус орбиты.

Отсюда скорость спутника:

$v_С = \sqrt{\frac{G M_З}{R_С}}$

Ускорение свободного падения у поверхности Земли $g = \frac{G M_З}{R_З^2}$, откуда $G M_З = g R_З^2$.

Подставим это в формулу для скорости, а также учтем, что $R_С = 2R_З$:

$v_С = \sqrt{\frac{g R_З^2}{2R_З}} = \sqrt{\frac{g R_З}{2}}$

Период обращения спутника $T_С$ равен длине орбиты, деленной на скорость:

$T_С = \frac{2\pi R_С}{v_С} = \frac{2\pi (2R_З)}{\sqrt{\frac{g R_З}{2}}} = 4\pi R_З \sqrt{\frac{2}{g R_З}} = 4\pi\sqrt{2} \sqrt{\frac{R_З^2}{g R_З}} = 4\pi\sqrt{2} \sqrt{\frac{R_З}{g}}$

Теперь вычислим значение $T_С$:

$T_С = 4 \cdot 3.14 \cdot \sqrt{2} \cdot \sqrt{\frac{6.4 \cdot 10^6 \text{ м}}{9.8 \text{ м/с}^2}} \approx 12.56 \cdot 1.414 \cdot \sqrt{653061} \text{ с} \approx 17.76 \cdot 808.1 \text{ с} \approx 14360 \text{ с}$

Теперь мы можем найти искомый промежуток времени $\text{t}$:

$t = \frac{T_С T_З}{T_З - T_С} = \frac{14360 \text{ с} \cdot 86400 \text{ с}}{86400 \text{ с} - 14360 \text{ с}} = \frac{1240704000 \text{ с}^2}{72040 \text{ с}} \approx 17222 \text{ с}$

Переведем время в часы:

$t = \frac{17222}{3600} \text{ ч} \approx 4.784 \text{ ч}$

Это примерно 4 часа и $0.784 \cdot 60 \approx 47$ минут.

Ответ: Спутник в первый раз пройдет над точкой запуска примерно через 17222 секунды, или 4 часа 47 минут.