Номер 176, страница 26, часть 1 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Парфентьева

Часть 1. 10 класс. Механика. Динамика. Силы в механике. Гравитационные силы. Сила тяжести и вес. Невесомость - номер 176, страница 26.

Условие.

176. [152] Чему равна средняя плотность планеты, у которой на экваторе вес тела вдвое меньше, чем на полюсе? Длительность суток на планете 10 ч.

Решение.

Дано:

$P_э = \frac{1}{2} P_п$ (вес на экваторе вдвое меньше веса на полюсе)

$T = 10$ ч (длительность суток)

$G \approx 6.67 \cdot 10^{-11} \frac{\text{Н} \cdot \text{м}^2}{\text{кг}^2}$ (гравитационная постоянная)

Перевод в систему СИ:

$T = 10 \text{ ч} = 10 \cdot 3600 \text{ с} = 36000 \text{ с}$

Найти:

$\rho$ — средняя плотность планеты

Решение:

Вес тела на полюсе ($P_п$) определяется только силой гравитационного притяжения, так как на полюсе отсутствует центробежная сила вращения:

$P_п = F_g = mg = G \frac{Mm}{R^2}$

где $\text{m}$ – масса тела, $\text{M}$ – масса планеты, $\text{R}$ – радиус планеты.

Вес тела на экваторе ($P_э$) равен разности силы гравитационного притяжения и центробежной силы, вызванной вращением планеты:

$P_э = F_g - F_ц = mg - ma_ц$

где $a_ц$ – центростремительное ускорение. Оно равно $a_ц = \omega^2 R$, где $\omega$ – угловая скорость вращения планеты.

Таким образом, $P_э = m(g - \omega^2 R)$.

Согласно условию задачи:

$P_э = \frac{1}{2} P_п$

Подставим выражения для весов:

$m(g - \omega^2 R) = \frac{1}{2} mg$

Сократим массу тела $\text{m}$:

$g - \omega^2 R = \frac{1}{2} g$

Из этого уравнения находим связь между ускорением свободного падения $\text{g}$ и параметрами вращения:

$\frac{1}{2} g = \omega^2 R \implies g = 2\omega^2 R$

С другой стороны, ускорение свободного падения на поверхности планеты определяется ее массой $\text{M}$ и радиусом $\text{R}$:

$g = G \frac{M}{R^2}$

Приравняем два полученных выражения для $\text{g}$:

$G \frac{M}{R^2} = 2\omega^2 R$

Массу планеты $\text{M}$ можно выразить через ее среднюю плотность $\rho$ и объем $\text{V}$. Будем считать планету шаром, тогда ее объем $V = \frac{4}{3}\pi R^3$:

$M = \rh°V = \rh°\frac{4}{3}\pi R^3$

Подставим это выражение для массы в наше уравнение:

$G \frac{\rh°\frac{4}{3}\pi R^3}{R^2} = 2\omega^2 R$

После сокращения $R^2$ в левой части получим:

$G \rh°\frac{4}{3}\pi R = 2\omega^2 R$

Сокращаем радиус $\text{R}$ с обеих сторон:

$G \rh°\frac{4}{3}\pi = 2\omega^2$

Теперь выразим среднюю плотность $\rho$:

$\rh°= \frac{2\omega^2 \cdot 3}{4\pi G} = \frac{3\omega^2}{2\pi G}$

Угловая скорость $\omega$ связана с периодом вращения $\text{T}$ (длительностью суток) формулой $\omega = \frac{2\pi}{T}$. Подставим ее в выражение для плотности:

$\rh°= \frac{3}{2\pi G} \left(\frac{2\pi}{T}\right)^2 = \frac{3 \cdot 4\pi^2}{2\pi G T^2} = \frac{6\pi}{G T^2}$

Это итоговая формула для расчета. Подставим в нее числовые значения из условия:

$\rh°= \frac{6 \cdot 3.14159}{6.67 \cdot 10^{-11} \frac{\text{Н} \cdot \text{м}^2}{\text{кг}^2} \cdot (36000 \text{ с})^2} \approx \frac{18.85}{6.67 \cdot 10^{-11} \cdot 1.296 \cdot 10^9} \frac{\text{кг}}{\text{м}^3}$

$\rh°\approx \frac{18.85}{0.0864} \frac{\text{кг}}{\text{м}^3} \approx 218.1 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3}$

Ответ: средняя плотность планеты равна примерно $218 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3}$.