Номер 164, страница 25, часть 1 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Парфентьева

Часть 1. 10 класс. Механика. Динамика. Силы в механике. Гравитационные силы. Закон всемирного тяготения. Первая космическая скорость - номер 164, страница 25.

Условие.

164. [140] Определите массу Земли, считая, что её радиус равен 6400 км, гравитационная постоянная равна $6,67 \cdot 10^{-11} \text{ H} \cdot \text{м}^2/\text{кг}^2$ и ускорение свободного падения равно $9,8 \text{ м}/\text{с}^2$.

Решение.

Дано:

$R = 6400 \text{ км}$

$G = 6,67 \cdot 10^{-11} \text{ Н} \cdot \text{м}^2/\text{кг}^2$

$g = 9,8 \text{ м/с}^2$

$R = 6400 \text{ км} = 6400 \cdot 10^3 \text{ м} = 6,4 \cdot 10^6 \text{ м}$

Найти:

$\text{M}$

Решение:

Для определения массы Земли воспользуемся двумя формулами для силы тяжести, действующей на тело массой $\text{m}$ у поверхности Земли.

С одной стороны, согласно второму закону Ньютона, сила тяжести равна:

$F = mg$

С другой стороны, согласно закону всемирного тяготения, сила гравитационного притяжения между Землей и телом на её поверхности равна:

$F = G \frac{M m}{R^2}$

где $\text{M}$ – масса Земли, $\text{R}$ – радиус Земли.

Поскольку обе формулы описывают одну и ту же силу, мы можем приравнять их правые части:

$mg = G \frac{M m}{R^2}$

Масса тела $\text{m}$ присутствует в обеих частях уравнения, поэтому мы можем сократить её:

$g = G \frac{M}{R^2}$

Из полученного выражения выразим массу Земли $\text{M}$:

$M = \frac{g R^2}{G}$

Теперь подставим числовые значения из условия задачи в систему СИ и произведем вычисления:

$M = \frac{9,8 \text{ м/с}^2 \cdot (6,4 \cdot 10^6 \text{ м})^2}{6,67 \cdot 10^{-11} \text{ Н} \cdot \text{м}^2/\text{кг}^2} = \frac{9,8 \cdot (6,4)^2 \cdot (10^6)^2}{6,67 \cdot 10^{-11}} \text{ кг} = \frac{9,8 \cdot 40,96 \cdot 10^{12}}{6,67 \cdot 10^{-11}} \text{ кг}$

$M = \frac{401,408 \cdot 10^{12}}{6,67 \cdot 10^{-11}} \text{ кг} \approx 60,18 \cdot 10^{12 - (-11)} \text{ кг} = 60,18 \cdot 10^{23} \text{ кг}$

Запишем ответ в стандартном виде:

$M \approx 6,02 \cdot 10^{24} \text{ кг}$

Ответ: масса Земли примерно равна $6,02 \cdot 10^{24} \text{ кг}$.