Номер 441, страница 61, часть 1 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Парфентьева

Часть 1. 10 класс. Молекулярная физика. Тепловые явления. Уравнение состояния идеального газа. Газовые законы. Газовые законы - номер 441, страница 61.

Условие.

441. [370] На рисунке 91 показан цикл, совершаемый над газом. Определите отношение максимальной и минимальной плотностей газа, достигаемых в ходе этого цикла.

Рис. 91

Решение.

Дано:

График цикла в координатах p-T (давление-температура).

Параметры состояний:

Состояние 1: $p_1, T_1$

Состояние 2: $p_2 = 2p_1, T_2 = T_1$

Состояние 3: $p_3 = 2p_1, T_3$

Найти:

$\frac{\rho_{max}}{\rho_{min}}$

Решение:

Плотность идеального газа $\rho$ связана с его давлением $\text{p}$ и температурой $\text{T}$ через уравнение состояния идеального газа (уравнение Менделеева-Клапейрона):

$pV = \frac{m}{M}RT$

где $\text{p}$ - давление, $\text{V}$ - объем, $\text{m}$ - масса газа, $\text{M}$ - молярная масса, $\text{R}$ - универсальная газовая постоянная, $\text{T}$ - абсолютная температура.

Плотность газа определяется как $\rh°= \frac{m}{V}$. Выразим объем $\text{V}$ из уравнения состояния:

$V = \frac{mRT}{pM}$

Подставим выражение для объема в формулу плотности:

$\rh°= \frac{m}{\frac{mRT}{pM}} = \frac{pM}{RT}$

Поскольку масса газа $\text{m}$ и его молярная масса $\text{M}$ в ходе цикла не изменяются, а $\text{R}$ является константой, плотность газа прямо пропорциональна отношению давления к температуре:

$\rh°\propt°\frac{p}{T}$

Следовательно, для нахождения отношения максимальной и минимальной плотностей необходимо найти максимальное и минимальное значения отношения $\frac{p}{T}$ в ходе всего цикла.

Рассмотрим каждый процесс цикла:

Процесс 1 → 2

Это изотермический процесс, так как температура постоянна ($T = T_1$). Давление увеличивается от $p_1$ до $2p_1$. Отношение $\frac{p}{T}$ изменяется от $\frac{p_1}{T_1}$ до $\frac{2p_1}{T_1}$. На этом участке плотность газа увеличивается.

Процесс 2 → 3

Это изобарный процесс, так как давление постоянно ($p = 2p_1$). Температура увеличивается от $T_1$ до $T_3$. Отношение $\frac{p}{T} = \frac{2p_1}{T}$. Поскольку $\text{T}$ растет, отношение $\frac{p}{T}$ (и плотность) уменьшается от $\frac{2p_1}{T_1}$ в точке 2 до $\frac{2p_1}{T_3}$ в точке 3.

Процесс 3 → 1

График этого процесса представляет собой прямую линию, проходящую через начало координат. Уравнение такой прямой в координатах p-T имеет вид $p = kT$, где $\text{k}$ - постоянный коэффициент. Это означает, что на данном участке отношение $\frac{p}{T}$ постоянно: $\frac{p}{T} = k = \text{const}$. Процесс с постоянным отношением $\frac{p}{T}$ является изохорным (происходит при постоянном объеме), а значит, и при постоянной плотности.

Значение этого постоянного отношения можно найти из параметров точки 1:

$\frac{p}{T} = \frac{p_1}{T_1}$

Проанализируем изменение отношения $\frac{p}{T}$ на протяжении всего цикла:

В точке 1 оно равно $\frac{p_1}{T_1}$.

На участке 1 → 2 оно растет до максимального значения $\frac{2p_1}{T_1}$ в точке 2.

На участке 2 → 3 оно убывает от $\frac{2p_1}{T_1}$ до $\frac{2p_1}{T_3}$. Так как точка 3 лежит на той же изохоре, что и точка 1, то $\frac{2p_1}{T_3} = \frac{p_1}{T_1}$.

На участке 3 → 1 оно остается постоянным и равным $\frac{p_1}{T_1}$.

Таким образом, максимальное и минимальное значения отношения $\frac{p}{T}$ в цикле равны:

$(\frac{p}{T})_{max} = \frac{2p_1}{T_1}$ (в точке 2)

$(\frac{p}{T})_{min} = \frac{p_1}{T_1}$ (на всем участке 3 → 1)

Теперь можем найти искомое отношение плотностей:

$\frac{\rho_{max}}{\rho_{min}} = \frac{(\frac{p}{T})_{max}}{(\frac{p}{T})_{min}} = \frac{\frac{2p_1}{T_1}}{\frac{p_1}{T_1}} = 2$

Ответ: 2.