Номер 442, страница 61, часть 1 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Парфентьева

Часть 1. 10 класс. Молекулярная физика. Тепловые явления. Уравнение состояния идеального газа. Газовые законы. Газовые законы - номер 442, страница 61.

Условие.

442. [371] На рисунке 92 показан цикл, совершаемый над идеальным газом. Температуры в состояниях 1 и 3 равны соответственно 300 и 400 К. Определите температуру газа в состоянии 2. Масса газа постоянна.

Рис. 92

Решение.

Дано:

$T_1 = 300 \text{ К}$

$T_3 = 400 \text{ К}$

Газ идеальный, масса газа постоянна ($m = \text{const}$).

График процесса в координатах $p-V$.

Найти:

$T_2$

Решение:

Для решения задачи воспользуемся уравнением состояния идеального газа (уравнением Менделеева-Клапейрона) $pV = \nu RT$, где $\nu$ — количество вещества газа, $\text{R}$ — универсальная газовая постоянная. Так как масса газа не меняется, количество вещества $\nu$ также постоянно. Соотношение $pV/T = \nu R$ является постоянной величиной для данной массы газа.

Запишем уравнение состояния для точек 1, 2 и 3:

$p_1 V_1 = \nu R T_1 \quad (1)$

$p_2 V_2 = \nu R T_2 \quad (2)$

$p_3 V_3 = \nu R T_3 \quad (3)$

Проанализируем процессы, показанные на графике:

1. Процесс 1-2 — изохорный, так как объем не изменяется: $V_1 = V_2$. Для этого процесса справедлив закон Шарля:

$\frac{p_1}{T_1} = \frac{p_2}{T_2}$

Отсюда можно выразить искомую температуру $T_2$:

$T_2 = T_1 \frac{p_2}{p_1} \quad (4)$

2. Процесс 2-3 — изобарный, так как давление не изменяется: $p_2 = p_3$.

3. Процесс 3-1 — это процесс, в котором давление прямо пропорционально объему, так как график представляет собой прямую линию, проходящую через начало координат. Таким образом, для этого процесса выполняется соотношение $\frac{p}{V} = \text{const}$. Для состояний 1 и 3 это означает:

$\frac{p_1}{V_1} = \frac{p_3}{V_3}$

Теперь объединим полученные соотношения. Из уравнений состояния (1) и (3) выразим объемы $V_1$ и $V_3$:

$V_1 = \frac{\nu R T_1}{p_1}$

$V_3 = \frac{\nu R T_3}{p_3}$

Подставим эти выражения в соотношение для процесса 3-1:

$\frac{p_1}{\frac{\nu R T_1}{p_1}} = \frac{p_3}{\frac{\nu R T_3}{p_3}}$

Упростим выражение:

$\frac{p_1^2}{\nu R T_1} = \frac{p_3^2}{\nu R T_3}$

Сократив постоянную величину $\nu R$, получим:

$\frac{p_1^2}{T_1} = \frac{p_3^2}{T_3}$

Из этого соотношения найдем отношение давлений $\frac{p_3}{p_1}$:

$(\frac{p_3}{p_1})^2 = \frac{T_3}{T_1} \Rightarrow \frac{p_3}{p_1} = \sqrt{\frac{T_3}{T_1}}$

Поскольку процесс 2-3 изобарный, $p_2 = p_3$, следовательно:

$\frac{p_2}{p_1} = \sqrt{\frac{T_3}{T_1}}$

Теперь подставим это отношение в формулу (4) для температуры $T_2$:

$T_2 = T_1 \cdot \sqrt{\frac{T_3}{T_1}} = \sqrt{T_1^2 \cdot \frac{T_3}{T_1}} = \sqrt{T_1 T_3}$

Подставим числовые значения и произведем расчет:

$T_2 = \sqrt{300 \text{ К} \cdot 400 \text{ К}} = \sqrt{120000} \text{ К} = \sqrt{12 \cdot 10^4} \text{ К} = 100\sqrt{12} \text{ К} = 200\sqrt{3} \text{ К}$

Приближенное значение: $T_2 \approx 200 \cdot 1.732 \text{ К} \approx 346.4 \text{ К}$.

Ответ: Температура газа в состоянии 2 равна $200\sqrt{3} \text{ К}$, что приблизительно составляет $346 \text{ К}$.