Номер 438, страница 61, часть 1 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Парфентьева

Часть 1. 10 класс. Молекулярная физика. Тепловые явления. Уравнение состояния идеального газа. Газовые законы. Газовые законы - номер 438, страница 61.

Условие.

438. [367] В вертикально расположенном цилиндре с площадью сечения $100 \text{ см}^2$ под поршнем, массой которого можно пренебречь, находится воздух при температуре $0 \text{ °С}$. На поршень ставят гирю массой $10 \text{ кг}$, при этом поршень опускается. На сколько градусов надо повысить температуру воздуха, чтобы поршень вернулся в прежнее положение? Атмосферное давление нормальное.

Решение.

Дано:

Площадь сечения цилиндра, $S = 100 \text{ см}^2$
Начальная температура воздуха, $t_1 = 0 \text{ °С}$
Масса гири, $m = 10 \text{ кг}$
Атмосферное давление нормальное, $p_а \approx 10^5 \text{ Па}$
Ускорение свободного падения, $g \approx 9.8 \text{ м/с}^2$

Перевод в систему СИ:
$S = 100 \text{ см}^2 = 100 \cdot (10^{-2} \text{ м})^2 = 100 \cdot 10^{-4} \text{ м}^2 = 0.01 \text{ м}^2$
$T_1 = 0 + 273.15 \approx 273 \text{ К}$

Найти:

$\Delta T$ - ?

Решение:

Рассмотрим два состояния воздуха в цилиндре: начальное и конечное.

1. Начальное состояние. Воздух находится под невесомым поршнем при температуре $T_1$. Давление воздуха $p_1$ уравновешивается внешним атмосферным давлением $p_а$.
$p_1 = p_а$. Объем воздуха в этом состоянии обозначим $V_1$.

2. Конечное состояние. На поршень поставили гирю массой $\text{m}$, и воздух нагрели до температуры $T_2$ так, что поршень вернулся в исходное положение. Это означает, что конечный объем воздуха $V_2$ равен начальному объему $V_1$.
$V_2 = V_1$.
В этом состоянии давление воздуха $p_2$ должно уравновешивать как атмосферное давление, так и давление, создаваемое гирей.
$p_2 = p_а + \frac{F_{гири}}{S} = p_а + \frac{mg}{S}$.

Поскольку объем газа в начальном и конечном состояниях одинаков ($V_1 = V_2$), переход между этими состояниями можно описать законом Шарля для изохорного процесса:

$\frac{p_1}{T_1} = \frac{p_2}{T_2}$

Отсюда можем выразить конечную температуру $T_2$:

$T_2 = T_1 \cdot \frac{p_2}{p_1}$

Подставим выражения для давлений $p_1$ и $p_2$:

$T_2 = T_1 \cdot \frac{p_а + \frac{mg}{S}}{p_а} = T_1 \left(1 + \frac{mg}{p_аS}\right)$

Требуется найти, на сколько градусов нужно повысить температуру, то есть найти разность $\Delta T = T_2 - T_1$.

$\Delta T = T_1 \left(1 + \frac{mg}{p_аS}\right) - T_1 = T_1 + \frac{T_1mg}{p_аS} - T_1 = \frac{T_1mg}{p_аS}$

Подставим числовые значения в полученную формулу:

$\Delta T = \frac{273 \text{ К} \cdot 10 \text{ кг} \cdot 9.8 \text{ м/с}^2}{10^5 \text{ Па} \cdot 0.01 \text{ м}^2} = \frac{273 \cdot 98}{1000} \text{ К} = \frac{26754}{1000} \text{ К} = 26.754 \text{ К}$

Изменение температуры в кельвинах численно равно изменению температуры в градусах Цельсия ($\Delta T = \Delta t$). Округлив результат, получаем:

$\Delta t \approx 26.8 \text{ °С}$

Ответ: Температуру воздуха надо повысить на $26.8 \text{ °С}$.