Номер 443, страница 61, часть 1 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Парфентьева

Часть 1. 10 класс. Молекулярная физика. Тепловые явления. Уравнение состояния идеального газа. Газовые законы. Газовые законы - номер 443, страница 61.

Условие.

443. [372] На графике в координатах $V-T$ (рис. 93) показан цикл, совершаемый над идеальным газом. Изобразите этот цикл на графиках в координатах $p-V$ и $p-T$.

Рис. 93

Решение.

Решение

Для построения графиков цикла в координатах p–V и p–T проанализируем каждый процесс, используя уравнение состояния идеального газа (уравнение Менделеева-Клапейрона): $pV = \nu RT$, где $\text{p}$ – давление, $\text{V}$ – объем, $\text{T}$ – абсолютная температура, $\nu$ – количество вещества, $\text{R}$ – универсальная газовая постоянная.

Анализ процессов по исходному графику V–T:

1–2: На графике V–T этот процесс изображен прямой, проходящей через начало координат. Это означает, что объем прямо пропорционален температуре: $V/T = \text{const}$. Из уравнения состояния $p = \frac{\nu R T}{V}$ следует, что если отношение $V/T$ постоянно, то и давление $\text{p}$ постоянно. Таким образом, процесс 1–2 — это изобарное расширение (нагревание). В этом процессе $p_1 = p_2$, объем $\text{V}$ увеличивается от $V_1$ до $V_2$, а температура $\text{T}$ увеличивается от $T_1$ до $T_2$.

2–3: На графике V–T это горизонтальная линия, что означает $V = V_2 = \text{const}$. Это изохорный процесс. Температура $\text{T}$ растет от $T_2$ до $T_3$, следовательно, это изохорное нагревание. Из уравнения $p/T = \nu R/V = \text{const}$ следует, что давление $\text{p}$ прямо пропорционально температуре $\text{T}$. Так как $T_3 > T_2$, то давление растет, то есть $p_3 > p_2$.

3–4: На графике V–T это вертикальная линия, что означает $T = T_3 = \text{const}$. Это изотермический процесс. Объем $\text{V}$ уменьшается от $V_2$ до $V_1$, следовательно, это изотермическое сжатие. Из уравнения $pV = \text{const}$ следует, что давление обратно пропорционально объему. Так как объем уменьшается ($V_4 = V_1 < V_3 = V_2$), давление увеличивается, то есть $p_4 > p_3$.

4–1: На графике V–T это горизонтальная линия, что означает $V = V_1 = \text{const}$. Это изохорный процесс. Температура $\text{T}$ уменьшается от $T_3$ до $T_1$, следовательно, это изохорное охлаждение. Давление $\text{p}$ снова прямо пропорционально температуре $\text{T}$. Так как $T_1 < T_4$ (где $T_4=T_3$), то давление падает, то есть $p_1 < p_4$.

Сводка по параметрам в узловых точках цикла:

Объемы: $V_2 = V_3 > V_1 = V_4$.

Температуры: $T_3 = T_4 > T_2 > T_1$.

Давления: $p_1 = p_2$. Из анализа процессов следует $p_3 > p_2$ и $p_4 > p_3$. Таким образом, получаем итоговое соотношение для давлений: $p_4 > p_3 > p_2 = p_1$.

На основе этого анализа строим графики в новых координатах.

График в координатах p–V

1–2 (Изобарное расширение): Давление постоянно ($p_1$), объем увеличивается от $V_1$ до $V_2$. Графиком является горизонтальный отрезок, направленный вправо.
2–3 (Изохорное нагревание): Объем постоянен ($V_2$), давление увеличивается от $p_2=p_1$ до $p_3$. Графиком является вертикальный отрезок, направленный вверх.
3–4 (Изотермическое сжатие): Температура постоянна, $p \propt°1/V$. Объем уменьшается от $V_2$ до $V_1$, а давление растет от $p_3$ до $p_4$. Графиком является кривая (часть гиперболы), идущая вверх и влево.
4–1 (Изохорное охлаждение): Объем постоянен ($V_1$), давление уменьшается от $p_4$ до $p_1$. Графиком является вертикальный отрезок, направленный вниз, который замыкает цикл.

Ответ: График в координатах p–V представляет собой цикл, состоящий из изобары 1-2 (горизонтальный отрезок), изохоры 2-3 (вертикальный отрезок), изотермы 3-4 (участок гиперболы) и изохоры 4-1 (вертикальный отрезок).

График в координатах p–T

1–2 (Изобарное расширение): Давление постоянно ($p_1$), температура увеличивается от $T_1$ до $T_2$. Графиком является горизонтальный отрезок, направленный вправо.
2–3 (Изохорное нагревание): $V_2=\text{const}$, давление прямо пропорционально температуре ($p = (\nu R/V_2)T$). Графиком является отрезок прямой, продолжение которой проходит через начало координат. Процесс идет от точки ($T_2, p_1$) до ($T_3, p_3$).
3–4 (Изотермическое сжатие): Температура постоянна ($T_3$), давление увеличивается от $p_3$ до $p_4$. Графиком является вертикальный отрезок, направленный вверх.
4–1 (Изохорное охлаждение): $V_1=\text{const}$, давление прямо пропорционально температуре ($p = (\nu R/V_1)T$). Графиком является отрезок прямой, продолжение которой проходит через начало координат. Процесс идет от точки ($T_3, p_4$) до ($T_1, p_1$).
Сравним наклоны изохор 2–3 и 4–1. Наклон изохоры в координатах p–T равен $k = p/T = \nu R/V$. Поскольку из исходного графика $V_1 < V_2$, то наклон прямой 4–1 ($k_{41} = \nu R/V_1$) будет больше наклона прямой 2–3 ($k_{23} = \nu R/V_2$).

Ответ: График в координатах p–T представляет собой цикл, состоящий из изобары 1-2 (горизонтальный отрезок), изохоры 2-3 (отрезок прямой, направленной из начала координат), изотермы 3-4 (вертикальный отрезок) и изохоры 4-1 (отрезок прямой, направленной из начала координат, с большим углом наклона к оси Т, чем у отрезка 2-3).