Номер 450, страница 62, часть 1 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Парфентьева

Часть 1. 10 класс. Молекулярная физика. Тепловые явления. Взаимные превращения жидкостей и газов. Влажность - номер 450, страница 62.

Условие.

450. [379] В комнате объёмом $60 \text{ м}^3$ относительная влажность воздуха $30 \text{ \%}$, а температура $20 \text{ °С}$. Оптимальной для комфорта считается влажность от $40 \text{ \%}$ до $50 \text{ \%}$. Определите массу воды, которую надо испарить для создания комфортных условий в комнате. При $20 \text{ °С}$ давление $2,33 \text{ кПа}$.

Решение.

Дано:

Объём комнаты $V = 60 \, м^3$
Начальная относительная влажность $\varphi_1 = 30 \, \%$
Температура $t = 20 \, °C$
Оптимальная относительная влажность $\varphi_2$ от $40 \, \%$ до $50 \, \%$
Давление насыщенного водяного пара при $20 \, °C$ $p_н = 2,33 \, кПа$
Универсальная газовая постоянная $R = 8,31 \, Дж/(моль \cdot К)$
Молярная масса воды $M = 18 \cdot 10^{-3} \, кг/моль$

Перевод в систему СИ:
$\varphi_1 = 0,30$
$\varphi_{2min} = 0,40$
$\varphi_{2max} = 0,50$
$T = 20 + 273 = 293 \, К$
$p_н = 2,33 \cdot 10^3 \, Па$

Найти:

Массу воды, которую надо испарить, $\Delta m$.

Решение:

Масса водяного пара $\text{m}$ в воздухе объёмом $\text{V}$ определяется через его плотность (абсолютную влажность) $\rho$:

$m = \rh°V$

Относительная влажность воздуха $\varphi$ связана с абсолютной влажностью $\rho$ и плотностью насыщенного пара $\rho_н$ при той же температуре соотношением:

$\varphi = \frac{\rho}{\rho_н}$

Отсюда можно выразить массу пара в комнате через относительную влажность:

$m = \varphi \rho_н V$

Плотность насыщенного водяного пара $\rho_н$ найдём из уравнения состояния идеального газа (уравнения Менделеева-Клапейрона), считая водяной пар идеальным газом:

$p_н V = \frac{m_н}{M} R T$

где $m_н$ - масса насыщенного пара в объёме $\text{V}$. Отсюда плотность насыщенного пара:

$\rho_н = \frac{m_н}{V} = \frac{p_н M}{R T}$

Таким образом, масса водяного пара в комнате $\text{m}$ выражается формулой:

$m = \varphi \frac{p_н M V}{R T}$

Начальная масса пара в комнате при влажности $\varphi_1 = 30 \, \%$:

$m_1 = \varphi_1 \frac{p_н M V}{R T}$

Для создания комфортных условий влажность необходимо повысить до $\varphi_2$ (от $40 \, \%$ до $50 \, \%$). Масса пара в комнате при этом станет $m_2$. Масса воды $\Delta m$, которую необходимо испарить, равна разности конечной и начальной масс пара:

$\Delta m = m_2 - m_1 = \varphi_2 \frac{p_н M V}{R T} - \varphi_1 \frac{p_н M V}{R T} = (\varphi_2 - \varphi_1) \frac{p_н M V}{R T}$

Так как комфортная влажность задана в диапазоне от $40 \, \%$ до $50 \, \%$, рассчитаем массу воды, необходимую для достижения нижней и верхней границ этого диапазона.

1. Для достижения влажности $\varphi_{2min} = 40 \, \%$:

$\Delta m_{min} = (\varphi_{2min} - \varphi_1) \frac{p_н M V}{R T} = (0,40 - 0,30) \frac{2,33 \cdot 10^3 \, Па \cdot 18 \cdot 10^{-3} \, кг/моль \cdot 60 \, м^3}{8,31 \, Дж/(моль \cdot К) \cdot 293 \, К}$

$\Delta m_{min} = 0,1 \cdot \frac{2516,4}{2434,83} \, кг \approx 0,1 \cdot 1,0335 \, кг \approx 0,103 \, кг$

2. Для достижения влажности $\varphi_{2max} = 50 \, \%$:

$\Delta m_{max} = (\varphi_{2max} - \varphi_1) \frac{p_н M V}{R T} = (0,50 - 0,30) \frac{2,33 \cdot 10^3 \, Па \cdot 18 \cdot 10^{-3} \, кг/моль \cdot 60 \, м^3}{8,31 \, Дж/(моль \cdot К) \cdot 293 \, К}$

$\Delta m_{max} = 0,2 \cdot \frac{2516,4}{2434,83} \, кг \approx 0,2 \cdot 1,0335 \, кг \approx 0,207 \, кг$

Таким образом, для создания комфортных условий необходимо испарить от $0,103 \, кг$ (103 г) до $0,207 \, кг$ (207 г) воды.

Ответ: для создания комфортных условий в комнате необходимо испарить от 103 г до 207 г воды.