Номер 724, страница 101, часть 1 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Парфентьева

Часть 1. 11 класс. Основы электродинамики (продолжение). Магнитное поле. Взаимодействие токов. Вектор магнитной индукции. Закон Ампера - номер 724, страница 101.

Условие.

724. H Индукция магнитного поля прямого тока изменяется по закону $B = \frac{10^{-5}}{r}$ (величина $\text{r}$ измеряется в метрах). Рамка со стороной 10 см находится в магнитном поле прямого тока, при этом и рамка, и прямой проводник принадлежат одной плоскости. Определите равнодействующую сил, действующих на рамку, при силе тока, идущего по ней, 1 А. Ближайшая к проводнику сторона находится от него на расстоянии 20 см.

Решение.

Дано:

Закон изменения индукции магнитного поля: $B(r) = \frac{10^{-5}}{r}$

Сторона квадратной рамки: $a = 10 \text{ см}$

Сила тока в рамке: $I = 1 \text{ А}$

Расстояние от прямого проводника до ближайшей стороны рамки: $r_1 = 20 \text{ см}$

Перевод в систему СИ:

$a = 0.1 \text{ м}$

$r_1 = 0.2 \text{ м}$

Найти:

Равнодействующую силу, действующую на рамку - $F_{рез}$

Решение:

Рассмотрим силы, действующие на каждую из четырех сторон квадратной рамки. Рамка и проводник лежат в одной плоскости. Две стороны рамки, обозначим их 1 и 3, параллельны прямому проводнику, а две другие стороны, 2 и 4, перпендикулярны ему.

Сила, действующая на проводник с током в магнитном поле (сила Ампера), определяется формулой: $F_A = I B l \sin{\alpha}$, где $\text{I}$ - сила тока в проводнике, $\text{B}$ - индукция магнитного поля, $\text{l}$ - длина проводника, $\alpha$ - угол между направлением тока и вектором магнитной индукции.

Вектор магнитной индукции $\vec{B}$ прямого тока перпендикулярен плоскости, в которой лежат проводник и рамка. Ток в сторонах рамки течет в этой плоскости. Следовательно, для всех четырех сторон рамки угол $\alpha = 90^\circ$, и $\sin{\alpha} = 1$. Формула силы Ампера упрощается до $F_A = I B l$.

Силы, действующие на стороны 2 и 4 (перпендикулярные проводнику), равны по модулю и противоположны по направлению, так как для любого элемента одной стороны найдется симметричный элемент на другой стороне, где индукция поля та же, а направления тока противоположны. Таким образом, их векторная сумма равна нулю: $\vec{F_2} + \vec{F_4} = 0$.

Теперь рассмотрим силы, действующие на стороны 1 и 3, параллельные проводнику.

Сторона 1 (ближайшая к проводу) имеет длину $\text{a}$ и находится на расстоянии $r_1$ от провода. Индукция магнитного поля на этом расстоянии постоянна и равна $B_1 = \frac{10^{-5}}{r_1}$. Сила, действующая на эту сторону, равна:

$F_1 = I \cdot a \cdot B_1 = I \cdot a \cdot \frac{10^{-5}}{r_1}$

Сторона 3 (дальняя от провода) также имеет длину $\text{a}$ и находится на расстоянии $r_2 = r_1 + a$ от провода. Индукция магнитного поля здесь равна $B_3 = \frac{10^{-5}}{r_2} = \frac{10^{-5}}{r_1 + a}$. Сила, действующая на эту сторону, равна:

$F_3 = I \cdot a \cdot B_3 = I \cdot a \cdot \frac{10^{-5}}{r_1 + a}$

Токи в сторонах 1 и 3 текут в противоположных направлениях. Следовательно, силы $F_1$ и $F_3$ также направлены в противоположные стороны (вдоль линии, перпендикулярной проводу). Равнодействующая сила на рамку будет равна разности модулей этих сил.

Так как $r_1 < r_2$, то $B_1 > B_3$, и, следовательно, $F_1 > F_3$. Модуль равнодействующей силы равен:

$F_{рез} = F_1 - F_3 = I \cdot a \cdot \frac{10^{-5}}{r_1} - I \cdot a \cdot \frac{10^{-5}}{r_1 + a} = I \cdot a \cdot 10^{-5} \cdot (\frac{1}{r_1} - \frac{1}{r_1 + a})$

Приведем выражение в скобках к общему знаменателю:

$F_{рез} = I \cdot a \cdot 10^{-5} \cdot \frac{r_1 + a - r_1}{r_1(r_1 + a)} = I \cdot a \cdot 10^{-5} \cdot \frac{a}{r_1(r_1 + a)} = \frac{I \cdot a^2 \cdot 10^{-5}}{r_1(r_1 + a)}$

Подставим числовые значения в систему СИ:

$F_{рез} = \frac{1 \cdot (0.1)^2 \cdot 10^{-5}}{0.2 \cdot (0.2 + 0.1)} = \frac{0.01 \cdot 10^{-5}}{0.2 \cdot 0.3} = \frac{10^{-2} \cdot 10^{-5}}{0.06} = \frac{10^{-7}}{6 \cdot 10^{-2}}$

$F_{рез} = \frac{1}{6} \cdot 10^{-5} \approx 0.1667 \cdot 10^{-5} \text{ Н}$

Представим ответ в стандартном виде:

$F_{рез} \approx 1.67 \cdot 10^{-6} \text{ Н}$

Ответ: $1.67 \cdot 10^{-6} \text{ Н}$.