Номер 730, страница 102, часть 1 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Парфентьева

Часть 1. 11 класс. Основы электродинамики (продолжение). Магнитное поле. Взаимодействие токов. Вектор магнитной индукции. Закон Ампера - номер 730, страница 102.

Условие.

730. [599] Стержень массой 200 г лежит на двух параллельных рельсах перпендикулярно им (рис. 164). Рельсы, расстояние между которыми 60 см, находятся на наклонной плоскости с углом у основания $30^\circ$. Линии магнитной индукции поля с индукцией 80 мТл направлены вертикально вверх. Коэффициент трения скольжения равен 0,7. Определите силу тока, идущего по стержню, в двух случаях:

1) стержень начинает подниматься вверх;

2) стержень начинает спускаться с наклонной плоскости.

Рис. 164

Решение.

Дано:

m = 200 г
l = 60 см
α = 30°
B = 80 мТл
μ = 0,7
g ≈ 9,8 м/с²

Перевод в систему СИ:
m = 0,2 кг
l = 0,6 м
B = 80 ⋅ 10⁻³ Тл = 0,08 Тл

Найти:

I₁ — сила тока, когда стержень начинает подниматься вверх.
I₂ — сила тока, когда стержень начинает спускаться вниз.

Решение:

На стержень, находящийся на наклонной плоскости, действуют четыре силы: сила тяжести $mg$, направленная вертикально вниз; сила нормальной реакции опоры $\text{N}$, перпендикулярная наклонной плоскости; сила трения скольжения $F_{тр}$, направленная вдоль наклонной плоскости против движения; и сила Ампера $F_A$, действующая на стержень с током в магнитном поле.

Стержень расположен горизонтально, а вектор магнитной индукции $\text{B}$ направлен вертикально вверх. Следовательно, угол между направлением тока в стержне и вектором $\text{B}$ равен 90°. Величина силы Ампера определяется по формуле $F_A = IBl$. По правилу левой руки, сила Ампера $F_A$ направлена горизонтально и перпендикулярно стержню.

Выберем систему координат: ось OX направим вдоль наклонной плоскости вверх, а ось OY — перпендикулярно наклонной плоскости.

Спроектируем действующие силы на эти оси. Угол наклона плоскости α.

Сила тяжести $mg$:
Проекция на OX: $mg_x = -mg \sin\alpha$ (направлена вниз)
Проекция на OY: $mg_y = -mg \cos\alpha$

Сила Ампера $F_A$ (направлена горизонтально):
Проекция на OX: $F_{Ax} = F_A \cos\alpha = IBl \cos\alpha$
Проекция на OY: $F_{Ay} = -F_A \sin\alpha = -IBl \sin\alpha$ (прижимает стержень к плоскости, если ток направлен так, чтобы создавать силу "из плоскости чертежа")

Сила нормальной реакции опоры $\text{N}$ направлена вдоль оси OY: $N_y = N$.

Сила трения $F_{тр}$ направлена вдоль оси OX: $F_{тр} = \mu N$.

Условие равновесия (начало движения) — это равенство нулю суммы проекций всех сил на оси координат.

Сумма проекций сил на ось OY:
$\sum F_y = N + mg_y + F_{Ay} = 0$
$N - mg \cos\alpha - IBl \sin\alpha = 0$
Отсюда сила нормальной реакции: $N = mg \cos\alpha + IBl \sin\alpha$

Рассмотрим два случая.

1) стержень начинает подниматься вверх

В этом случае движение направлено вверх по наклонной плоскости, следовательно, сила трения $F_{тр}$ направлена вниз, вдоль оси OX. Для подъема стержня сила Ампера должна быть направлена так, чтобы ее проекция на OX была направлена вверх.
Сумма проекций сил на ось OX:
$\sum F_x = F_{Ax} + mg_x - F_{тр} = 0$
$I_1Bl \cos\alpha - mg \sin\alpha - \mu N = 0$
Подставим выражение для $N = mg \cos\alpha + I_1Bl \sin\alpha$:
$I_1Bl \cos\alpha - mg \sin\alpha - \mu (mg \cos\alpha + I_1Bl \sin\alpha) = 0$
$I_1Bl \cos\alpha - mg \sin\alpha - \mu mg \cos\alpha - \mu I_1Bl \sin\alpha = 0$
Сгруппируем слагаемые с $I_1$:
$I_1(Bl \cos\alpha - \mu Bl \sin\alpha) = mg \sin\alpha + \mu mg \cos\alpha$
$I_1 Bl (\cos\alpha - \mu \sin\alpha) = mg (\sin\alpha + \mu \cos\alpha)$
Отсюда находим силу тока $I_1$:
$I_1 = \frac{mg (\sin\alpha + \mu \cos\alpha)}{Bl (\cos\alpha - \mu \sin\alpha)}$
Подставим числовые значения:
$\sin(30^\circ) = 0,5$
$\cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0,866$
$I_1 = \frac{0,2 \cdot 9,8 \cdot (0,5 + 0,7 \cdot 0,866)}{0,08 \cdot 0,6 \cdot (0,866 - 0,7 \cdot 0,5)} = \frac{1,96 \cdot (0,5 + 0,6062)}{0,048 \cdot (0,866 - 0,35)} = \frac{1,96 \cdot 1,1062}{0,048 \cdot 0,516} \approx \frac{2,168}{0,02477} \approx 87,5 \text{ А}$

Ответ: $I_1 \approx 87,5 \text{ А}$

2) стержень начинает спускаться с наклонной плоскости

Проверим, будет ли стержень покоиться без тока ($I=0$).
Сила, тянущая вниз: $mg \sin\alpha = 1,96 \cdot 0,5 = 0,98 \text{ Н}$.
Максимальная сила трения покоя: $F_{тр.макс} = \mu N = \mu mg \cos\alpha = 0,7 \cdot 1,96 \cdot 0,866 \approx 1,18 \text{ Н}$.
Так как $mg \sin\alpha < F_{тр.макс}$, стержень без тока будет находиться в покое. Чтобы он начал спускаться, сила Ампера должна помогать силе тяжести, то есть ее проекция на ось OX должна быть направлена вниз. Для этого нужно изменить направление тока на противоположное. В этом случае сила Ампера $F_A$ будет направлена горизонтально так, что ее проекция на OY будет "отрывать" стержень от плоскости.

Сила нормальной реакции изменится:
$N = mg \cos\alpha - F_A \sin\alpha = mg \cos\alpha - I_2Bl \sin\alpha$
Движение направлено вниз, значит, сила трения $F_{тр}$ направлена вверх по оси OX.
Сумма проекций сил на ось OX:
$\sum F_x = F_{тр} + F_{Ax} + mg_x = 0$
В данном случае проекция $F_{Ax}$ будет отрицательна, так как направлена вниз: $F_{Ax} = -I_2Bl \cos\alpha$
$F_{тр} - I_2Bl \cos\alpha - mg \sin\alpha = 0$
$\mu N = mg \sin\alpha + I_2Bl \cos\alpha$
Подставим выражение для $\text{N}$:
$\mu(mg \cos\alpha - I_2Bl \sin\alpha) = mg \sin\alpha + I_2Bl \cos\alpha$
$\mu mg \cos\alpha - \mu I_2Bl \sin\alpha = mg \sin\alpha + I_2Bl \cos\alpha$
Сгруппируем слагаемые с $I_2$:
$\mu mg \cos\alpha - mg \sin\alpha = I_2Bl \cos\alpha + \mu I_2Bl \sin\alpha$
$mg(\mu \cos\alpha - \sin\alpha) = I_2 Bl(\cos\alpha + \mu \sin\alpha)$
Отсюда находим силу тока $I_2$:
$I_2 = \frac{mg (\mu \cos\alpha - \sin\alpha)}{Bl (\cos\alpha + \mu \sin\alpha)}$
Подставим числовые значения:
$I_2 = \frac{0,2 \cdot 9,8 \cdot (0,7 \cdot 0,866 - 0,5)}{0,08 \cdot 0,6 \cdot (0,866 + 0,7 \cdot 0,5)} = \frac{1,96 \cdot (0,6062 - 0,5)}{0,048 \cdot (0,866 + 0,35)} = \frac{1,96 \cdot 0,1062}{0,048 \cdot 1,216} \approx \frac{0,208}{0,0584} \approx 3,57 \text{ А}$

Ответ: $I_2 \approx 3,57 \text{ А}$