Номер 737, страница 103, часть 1 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Парфентьева

Часть 1. 11 класс. Основы электродинамики (продолжение). Магнитное поле. Сила Лоренца - номер 737, страница 103.

Условие.

737. H На каком максимальном расстоянии от границы однородного магнитного поля окажутся ионы калия с атомной массой 39, если ионы с атомной массой 41 оказываются на расстоянии 1 м? Заряды ионов одинаковы, и они ускоряются, прежде чем попасть в магнитное поле, одним и тем же электрическим полем. Скорости ионов перпендикулярны вектору магнитной индукции.

Решение.

Дано:

Атомная масса первого иона калия (изотоп ¹): $A_1 = 39$

Атомная масса второго иона калия (изотоп ²): $A_2 = 41$

Максимальное расстояние для второго иона: $d_2 = 1$ м

Заряды ионов одинаковы: $q_1 = q_2 = q$

Ионы ускоряются одним и тем же электрическим полем, следовательно, проходят одинаковую разность потенциалов: $U_1 = U_2 = U$

Магнитное поле однородно и одинаково для обоих ионов: $B_1 = B_2 = B$

Данные представлены в относительных единицах или уже в системе СИ, поэтому перевод не требуется.

Найти:

Максимальное расстояние для первого иона: $d_1$ - ?

Решение:

1. Ионы, прежде чем попасть в магнитное поле, ускоряются электрическим полем. Работа электрического поля идет на увеличение кинетической энергии иона:

$A_{эл} = \Delta E_k$

$qU = \frac{mv^2}{2}$

Отсюда можно выразить скорость иона на входе в магнитное поле:

$v = \sqrt{\frac{2qU}{m}}$

2. В однородном магнитном поле на движущийся ион действует сила Лоренца, которая перпендикулярна скорости. Эта сила сообщает иону центростремительное ускорение, заставляя его двигаться по окружности.

$F_Л = qvB$

Согласно второму закону Ньютона:

$qvB = \frac{mv^2}{R}$

где $\text{R}$ — радиус окружности траектории иона.

Из этого уравнения выразим радиус траектории:

$R = \frac{mv}{qB}$

3. Подставим в формулу для радиуса выражение для скорости, полученное в пункте 1:

$R = \frac{m}{qB} \sqrt{\frac{2qU}{m}} = \frac{1}{B} \sqrt{\frac{m^2 \cdot 2qU}{q^2 \cdot m}} = \frac{1}{B} \sqrt{\frac{2mU}{q}}$

4. Максимальное расстояние от границы поля, на которое удалится ион, равно диаметру окружности его траектории:

$d = 2R = \frac{2}{B} \sqrt{\frac{2mU}{q}}$

5. Масса иона пропорциональна его атомной массе $\text{A}$: $m = A \cdot m_0$, где $m_0$ — атомная единица массы. Тогда:

$d = \frac{2}{B} \sqrt{\frac{2 A m_0 U}{q}}$

6. Запишем это выражение для двух изотопов калия:

$d_1 = \frac{2}{B} \sqrt{\frac{2 A_1 m_0 U}{q}}$

$d_2 = \frac{2}{B} \sqrt{\frac{2 A_2 m_0 U}{q}}$

7. Разделим первое уравнение на второе, чтобы найти соотношение между расстояниями:

$\frac{d_1}{d_2} = \frac{\frac{2}{B} \sqrt{\frac{2 A_1 m_0 U}{q}}}{\frac{2}{B} \sqrt{\frac{2 A_2 m_0 U}{q}}} = \sqrt{\frac{A_1}{A_2}}$

8. Выразим искомое расстояние $d_1$:

$d_1 = d_2 \sqrt{\frac{A_1}{A_2}}$

9. Подставим числовые значения и рассчитаем результат:

$d_1 = 1 \text{ м} \cdot \sqrt{\frac{39}{41}} \approx 1 \cdot \sqrt{0.9512} \approx 0.9753$ м

Ответ: Максимальное расстояние, на которое окажутся ионы калия с атомной массой 39, составляет приблизительно $0.975$ м.