Номер 744, страница 105, часть 1 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Парфентьева

Часть 1. 11 класс. Основы электродинамики (продолжение). Электромагнитная индукция. Магнитный поток. Правило Ленца. ЭДС индукции - номер 744, страница 105.

Условие.

744. H Проводник АС, сопротивление которого мало, скользит со скоростью $\text{v}$ по согнутому проводнику, сопротивление единицы длины которого $\text{r}$. Проводники находятся в однородном магнитном поле с индукцией $\text{B}$ (рис. 172). Угол сгиба проводника $2\alpha$. Определите силу тока в проводнике.

Рис. 172

Решение.

Дано:

Скорость проводника AC: $\text{v}$

Сопротивление единицы длины согнутого проводника: $\text{r}$

Магнитная индукция: $\text{B}$

Угол сгиба проводника: $2\alpha$

Сопротивление проводника AC пренебрежимо мало.

Найти:

Сила тока в проводнике: $\text{I}$

Решение:

При движении проводника AC в магнитном поле в нем возникает ЭДС индукции. Согласно закону электромагнитной индукции, величина этой ЭДС для движущегося проводника длиной $\text{L}$ со скоростью $\text{v}$ в магнитном поле $\text{B}$ определяется формулой:

$ \mathcal{E} = B L v $

Здесь вектор скорости $\vec{v}$ перпендикулярен проводнику AC, а вектор магнитной индукции $\vec{B}$ перпендикулярен плоскости, в которой движется проводник. Проводник AC замыкает цепь с согнутым проводником, образуя треугольный контур.

Найдем зависимость длины проводника $\text{L}$ и сопротивления контура $\text{R}$ от его положения. Пусть проводник AC находится на расстоянии $\text{y}$ от вершины угла по его биссектрисе. Тогда из геометрии (см. рисунок) можно выразить половину длины проводника $L/2$ через $\text{y}$ и половину угла сгиба $\alpha$:

$ \frac{L/2}{y} = \tan(\alpha) \implies L = 2y \tan(\alpha) $

Подставим это выражение в формулу для ЭДС:

$ \mathcal{E} = B (2y \tan(\alpha)) v $

Сопротивление цепи создается только согнутым проводником (сопротивлением проводника AC пренебрегаем). Найдем длину $\text{l}$ каждой из сторон согнутого проводника от вершины до точек A и C.

$ \cos(\alpha) = \frac{y}{l} \implies l = \frac{y}{\cos(\alpha)} $

Общая длина части согнутого проводника, входящей в контур, равна $2l$. Тогда общее сопротивление контура $\text{R}$ равно:

$ R = r \cdot (2l) = r \frac{2y}{\cos(\alpha)} $

Теперь, используя закон Ома для замкнутой цепи, найдем силу тока $\text{I}$:

$ I = \frac{\mathcal{E}}{R} $

Подставим полученные выражения для $ \mathcal{E} $ и $\text{R}$:

$ I = \frac{B (2y \tan(\alpha)) v}{r \frac{2y}{\cos(\alpha)}} = \frac{B v \tan(\alpha)}{r / \cos(\alpha)} = \frac{B v \tan(\alpha) \cos(\alpha)}{r} $

Поскольку $ \tan(\alpha) = \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)} $, то $ \tan(\alpha) \cos(\alpha) = \sin(\alpha) $.

Таким образом, окончательное выражение для силы тока:

$ I = \frac{B v \sin(\alpha)}{r} $

Как видно из результата, сила тока не зависит от положения проводника, а является постоянной величиной при постоянной скорости движения.

Ответ: $ I = \frac{B v \sin(\alpha)}{r} $