Номер 746, страница 105, часть 1 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Парфентьева

Часть 1. 11 класс. Основы электродинамики (продолжение). Электромагнитная индукция. Магнитный поток. Правило Ленца. ЭДС индукции - номер 746, страница 105.

Условие.

746. [615] Мальчик вращает на веревке длиной $20 \text{ см}$ в вертикальной плоскости металлический прут длиной $10 \text{ см}$ с частотой $2 \text{ об/с}$. Определите максимальную разность потенциалов, которая может возникнуть между концами прута. Горизонтальная составляющая индукции магнитного поля Земли $0,2 \text{ мТл}$.

Решение.

Дано:

Длина верёвки, $R = 20 \text{ см}$
Длина металлического прута, $l = 10 \text{ см}$
Частота вращения, $f = 2 \text{ об/с}$
Горизонтальная составляющая индукции магнитного поля Земли, $B_h = 0.2 \text{ мТл}$

$R = 0.2 \text{ м}$
$l = 0.1 \text{ м}$
$f = 2 \text{ Гц}$
$B_h = 0.2 \times 10^{-3} \text{ Тл} = 2 \times 10^{-4} \text{ Тл}$

Найти:

Максимальную разность потенциалов между концами прута, $\mathcal{E}_{max}$.

Решение:

При движении металлического прута в магнитном поле Земли в нем возникает ЭДС индукции (разность потенциалов) за счет действия силы Лоренца на свободные электроны в металле. Величина этой ЭДС зависит от скорости движения, индукции магнитного поля и ориентации прута.

Максимальная разность потенциалов будет достигаться при выполнении следующих условий:
1. Плоскость вращения прута должна быть перпендикулярна вектору магнитной индукции. Так как прут вращается в вертикальной плоскости, а дана горизонтальная составляющая магнитного поля $B_h$, то для максимальной ЭДС вращение должно происходить в вертикальной плоскости, ориентированной в направлении "восток-запад". В этом случае скорость любой точки прута $\vec{v}$ будет всегда перпендикулярна вектору $\vec{B}_h$.
2. Прут должен быть ориентирован так, чтобы индуцируемая в нем ЭДС была максимальной. Сила Лоренца, действующая на заряды, направлена перпендикулярно и скорости, и магнитному полю. В нашем случае она будет направлена вдоль радиуса вращения. Следовательно, прут должен быть расположен радиально, то есть вдоль линии, соединяющей центр вращения и сам прут.
3. Конфигурация системы "веревка-прут" должна обеспечивать максимальную скорость движения. Для этого прут должен быть прикреплен к веревке одним концом, так он будет вращаться на максимальном удалении от центра.

При радиальном расположении прута его ближний к центру вращения конец находится на расстоянии $r_1 = R$, а дальний — на расстоянии $r_2 = R + l$.

Скорость точки, находящейся на расстоянии $\text{r}$ от центра вращения, определяется формулой $v(r) = \omega r$, где $\omega$ — угловая скорость. Угловая скорость связана с частотой вращения как $\omega = 2\pi f$.

ЭДС, индуцируемая в малом элементе прута $dr$, движущемся со скоростью $v(r)$, равна $d\mathcal{E} = B_h v(r) dr = B_h \omega r dr$.

Чтобы найти полную разность потенциалов между концами прута, необходимо проинтегрировать это выражение по всей длине прута от $r_1 = R$ до $r_2 = R + l$:
$\mathcal{E}_{max} = \int_{R}^{R+l} B_h \omega r dr = B_h \omega \int_{R}^{R+l} r dr = B_h \omega \left[ \frac{r^2}{2} \right]_{R}^{R+l}$
$\mathcal{E}_{max} = \frac{1}{2} B_h \omega ((R+l)^2 - R^2) = \frac{1}{2} B_h \omega (R^2 + 2Rl + l^2 - R^2)$
$\mathcal{E}_{max} = \frac{1}{2} B_h \omega (2Rl + l^2) = B_h \omega l (R + \frac{l}{2})$

Подставим в формулу значение угловой скорости $\omega = 2\pi f$:
$\mathcal{E}_{max} = B_h (2\pi f) l (R + \frac{l}{2})$

Произведем вычисления:
$\mathcal{E}_{max} = (2 \times 10^{-4} \text{ Тл}) \cdot (2\pi \cdot 2 \text{ Гц}) \cdot 0.1 \text{ м} \cdot (0.2 \text{ м} + \frac{0.1 \text{ м}}{2})$
$\mathcal{E}_{max} = (2 \times 10^{-4}) \cdot 4\pi \cdot 0.1 \cdot (0.2 + 0.05) = 8\pi \times 10^{-5} \cdot 0.25$
$\mathcal{E}_{max} = 2\pi \times 10^{-5} \text{ В} \approx 6.28 \times 10^{-5} \text{ В} = 62.8 \text{ мкВ}$

Ответ: Максимальная разность потенциалов, которая может возникнуть между концами прута, равна $2\pi \times 10^{-5} \text{ В}$, или приблизительно $62.8 \text{ мкВ}$.