Номер 749, страница 106, часть 1 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Парфентьева

Часть 1. 11 класс. Основы электродинамики (продолжение). Электромагнитная индукция. Магнитный поток. Правило Ленца. ЭДС индукции - номер 749, страница 106.

Условие.

749. [618] Круговой проволочный контур длиной $\text{l}$ находится в однородном магнитном поле, индукция которого равна $\text{B}$. Линии магнитной индукции перпендикулярны плоскости контура. Проводник свернули в виде восьмёрки (рис. 176). Удельное сопротивление проволоки $\rho$, площадь поперечного сечения $\text{S}$. Определите заряд, прошедший по проводнику.

Рис. 176

Решение.

Дано:

Длина проволочного контура: $\text{l}$
Индукция однородного магнитного поля: $\text{B}$
Удельное сопротивление проволоки: $ρ$
Площадь поперечного сечения проволоки: $\text{S}$
Начальная форма: круговой контур
Конечная форма: восьмёрка

Найти:

Заряд, прошедший по проводнику: $\text{q}$

Решение:

При изменении формы проводника в магнитном поле меняется площадь, охватываемая контуром, а значит, и магнитный поток $Φ$, пронизывающий этот контур. Согласно закону электромагнитной индукции Фарадея, это изменение потока вызывает ЭДС индукции $ε_i$ в контуре:

$ε_i = - \frac{dΦ}{dt}$

Эта ЭДС создает в контуре индукционный ток $I_i$. По закону Ома для замкнутой цепи:

$I_i = \frac{ε_i}{R} = - \frac{1}{R} \frac{dΦ}{dt}$

где $\text{R}$ — сопротивление контура.

Сила тока по определению — это скорость протекания заряда: $I_i = \frac{dq}{dt}$. Приравнивая два выражения для тока, получаем:

$\frac{dq}{dt} = - \frac{1}{R} \frac{dΦ}{dt}$

Отсюда $dq = - \frac{1}{R} dΦ$. Проинтегрировав это выражение, найдем полный заряд $\text{q}$, прошедший через сечение проводника за время изменения потока от начального значения $Φ_1$ до конечного $Φ_2$:

$q = \int dq = - \frac{1}{R} \int_{Φ_1}^{Φ_2} dΦ = - \frac{Φ_2 - Φ_1}{R} = - \frac{ΔΦ}{R}$

Нас интересует абсолютная величина заряда, поэтому:

$q = \frac{|ΔΦ|}{R}$

Сопротивление $\text{R}$ проволоки можно найти по формуле:

$R = \frac{ρl}{S}$

Теперь определим изменение магнитного потока $ΔΦ = Φ_2 - Φ_1$. Магнитный поток через плоский контур площадью $\text{A}$, перпендикулярный линиям индукции, равен $Φ = B \cdot A$.

1. Начальное состояние. Контур представляет собой окружность длиной $\text{l}$. Длина окружности связана с ее радиусом $r_1$ как $l = 2πr_1$, откуда $r_1 = \frac{l}{2π}$. Площадь этого круга $A_1 = πr_1^2 = π(\frac{l}{2π})^2 = \frac{l^2}{4π}$. Начальный магнитный поток: $Φ_1 = B \cdot A_1 = \frac{Bl^2}{4π}$.

2. Конечное состояние. Контур свернули в виде восьмёрки. Эта форма состоит из двух одинаковых петель. При обходе такого контура ток в одной петле будет течь по часовой стрелке, а в другой — против часовой стрелки. Это означает, что нормали к поверхностям этих петель направлены в противоположные стороны. Магнитные потоки через эти петли будут иметь одинаковую величину, но противоположные знаки. Суммарный магнитный поток через восьмерку равен:

$Φ_2 = Φ_{петля1} + Φ_{петля2} = B \cdot A_{петля} - B \cdot A_{петля} = 0$

Таким образом, конечный магнитный поток через контур равен нулю.

Изменение магнитного потока составляет:

$ΔΦ = Φ_2 - Φ_1 = 0 - \frac{Bl^2}{4π} = - \frac{Bl^2}{4π}$

Модуль изменения потока: $|ΔΦ| = \frac{Bl^2}{4π}$.

Подставим найденные значения $|ΔΦ|$ и $\text{R}$ в формулу для заряда $\text{q}$:

$q = \frac{|ΔΦ|}{R} = \frac{Bl^2/4π}{ρl/S} = \frac{Bl^2S}{4πρl}$

Сократив $\text{l}$, получаем окончательный результат:

$q = \frac{BlS}{4πρ}$

Ответ: $q = \frac{BlS}{4πρ}$.