Номер 743, страница 105, часть 1 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Парфентьева

Часть 1. 11 класс. Основы электродинамики (продолжение). Электромагнитная индукция. Магнитный поток. Правило Ленца. ЭДС индукции - номер 743, страница 105.

Условие.

743. [612] Радиус проволочного витка, соединяющего пластины плоского конденсатора ёмкостью 10 мкФ, равен 20 см. Чему равен заряд на пластинах конденсатора, если виток помещён в однородное магнитное поле (рис. 171), индукция которого изменяется по закону $B = B_0 + kt$, где $k = 0,005$ Тл/с и вектор $\vec{B}$ направлен под углом 30° к плоскости витка.

Рис. 171

Решение.

Дано:

$C = 10 \text{ мкФ} = 10 \cdot 10^{-6} \text{ Ф} = 10^{-5} \text{ Ф}$

$R = 20 \text{ см} = 0,2 \text{ м}$

$B(t) = B_0 + kt$

$k = 0,005 \text{ Тл/с}$

$\alpha = 30^\circ$ (угол между вектором $\vec{B}$ и плоскостью витка)

Найти:

$\text{q}$ - ?

Решение:

В соответствии с явлением электромагнитной индукции, изменение магнитного потока, пронизывающего замкнутый проводящий контур, приводит к возникновению в этом контуре электрического тока. Причиной возникновения тока является электродвижущая сила (ЭДС) индукции. По закону Фарадея, ЭДС индукции $\mathcal{E}_i$ равна скорости изменения магнитного потока $\Phi$ через контур, взятой с обратным знаком:

$\mathcal{E}_i = - \frac{d\Phi}{dt}$

Магнитный поток $\Phi$ через виток площадью $\text{S}$ определяется как произведение модуля вектора магнитной индукции $\text{B}$ на площадь $\text{S}$ и на косинус угла $\theta$ между вектором $\vec{B}$ и нормалью (перпендикуляром) $\vec{n}$ к плоскости витка. В условии задачи дан угол $\alpha$ между вектором $\vec{B}$ и плоскостью витка, поэтому угол $\theta$ между $\vec{B}$ и нормалью равен $\theta = 90^\circ - \alpha$.

Таким образом, магнитный поток можно выразить как:

$\Phi = B S \cos(90^\circ - \alpha) = B S \sin\alpha$

Площадь кругового витка радиусом $\text{R}$ вычисляется по формуле:

$S = \pi R^2$

Магнитная индукция изменяется со временем по линейному закону $B(t) = B_0 + kt$. Подставим все в формулу для магнитного потока:

$\Phi(t) = (B_0 + kt) \pi R^2 \sin\alpha$

Теперь найдем ЭДС индукции, взяв производную от магнитного потока по времени:

$\mathcal{E}_i = - \frac{d}{dt}((B_0 + kt) \pi R^2 \sin\alpha)$

Поскольку $B_0, \pi, R, \alpha$ являются постоянными величинами, производная от $B_0$ равна нулю, а от $kt$ равна $\text{k}$.

$\mathcal{E}_i = - k \pi R^2 \sin\alpha$

Знак минус указывает направление индукционного тока (согласно правилу Ленца), но для нахождения величины заряда нас интересует модуль ЭДС:

$|\mathcal{E}_i| = k \pi R^2 \sin\alpha$

Эта ЭДС индукции действует в витке как источник постоянного напряжения, который заряжает конденсатор. Напряжение на пластинах конденсатора $U_C$ в установившемся режиме будет равно модулю ЭДС индукции:

$U_C = |\mathcal{E}_i|$

Заряд $\text{q}$ на пластинах конденсатора связан с его ёмкостью $\text{C}$ и напряжением $U_C$ формулой:

$q = C \cdot U_C = C k \pi R^2 \sin\alpha$

Подставим числовые значения из условия задачи в систему СИ:

$q = 10^{-5} \text{ Ф} \cdot 0,005 \frac{\text{Тл}}{\text{с}} \cdot \pi \cdot (0,2 \text{ м})^2 \cdot \sin(30^\circ)$

Зная, что $\sin(30^\circ) = 0,5$, проведем вычисления:

$q = 10^{-5} \cdot 0,005 \cdot \pi \cdot 0,04 \cdot 0,5$

$q = 10^{-5} \cdot (5 \cdot 10^{-3}) \cdot \pi \cdot (4 \cdot 10^{-2}) \cdot (5 \cdot 10^{-1})$

$q = (5 \cdot 4 \cdot 5) \cdot (10^{-5} \cdot 10^{-3} \cdot 10^{-2} \cdot 10^{-1}) \cdot \pi$

$q = 100 \cdot 10^{-11} \cdot \pi = 10^2 \cdot 10^{-11} \cdot \pi = \pi \cdot 10^{-9} \text{ Кл}$

Приближенное значение, используя $\pi \approx 3,14$:

$q \approx 3,14 \cdot 10^{-9} \text{ Кл} = 3,14 \text{ нКл}$

Ответ: Заряд на пластинах конденсатора равен $q = \pi \cdot 10^{-9} \text{ Кл}$ (приблизительно $3,14 \text{ нКл}$).