Номер 736, страница 103, часть 1 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Парфентьева

Часть 1. 11 класс. Основы электродинамики (продолжение). Магнитное поле. Сила Лоренца - номер 736, страница 103.

Условие.

736. [605] Электрон влетает в однородное магнитное поле под углом $60^{\circ}$ к линиям магнитной индукции. Скорость электрона 2000 м/с, индукция магнитного поля 0,1 Тл. Определите радиус и шаг спирали, по которой будет двигаться электрон.

Решение.

Дано

Угол $ \alpha = 60^\circ $

Скорость электрона $ v = 2000 $ м/с

Индукция магнитного поля $ B = 0,1 $ Тл

Масса электрона (справочная величина) $ m_e \approx 9,1 \cdot 10^{-31} $ кг

Заряд электрона (справочная величина, по модулю) $ e \approx 1,6 \cdot 10^{-19} $ Кл

Все данные представлены в системе СИ.

Найти:

Радиус спирали $ R $ - ?

Шаг спирали $ h $ - ?

Решение

Когда электрон влетает в однородное магнитное поле под углом к линиям индукции, его движение можно разложить на два: равномерное движение вдоль линий поля и равномерное движение по окружности в плоскости, перпендикулярной этим линиям. В результате траектория электрона представляет собой спираль.

Разложим вектор скорости $ \vec{v} $ на две составляющие:

1. Параллельную линиям магнитной индукции: $ v_\parallel = v \cdot \cos(\alpha) $. Эта составляющая скорости остается постоянной, так как сила Лоренца на нее не действует.

2. Перпендикулярную линиям магнитной индукции: $ v_\perp = v \cdot \sin(\alpha) $. Под действием этой составляющей скорости и магнитного поля возникает сила Лоренца, которая заставляет электрон двигаться по окружности.

Сила Лоренца $ F_Л $ сообщает электрону центростремительное ускорение и является центростремительной силой $ F_ц $:

$ F_Л = F_ц $

$ e \cdot v_\perp \cdot B = \frac{m_e \cdot v_\perp^2}{R} $

Отсюда выразим радиус спирали $ R $:

$ R = \frac{m_e \cdot v_\perp}{e \cdot B} = \frac{m_e \cdot v \cdot \sin(\alpha)}{e \cdot B} $

Подставим числовые значения:

$ R = \frac{9,1 \cdot 10^{-31} \text{ кг} \cdot 2000 \text{ м/с} \cdot \sin(60^\circ)}{1,6 \cdot 10^{-19} \text{ Кл} \cdot 0,1 \text{ Тл}} = \frac{9,1 \cdot 10^{-31} \cdot 2000 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{1,6 \cdot 10^{-20}} \approx \frac{15,76 \cdot 10^{-28}}{1,6 \cdot 10^{-20}} \approx 9,85 \cdot 10^{-8} $ м.

Шаг спирали $ h $ — это расстояние, на которое смещается электрон вдоль линий поля за один оборот. Чтобы найти шаг, нужно сначала определить период обращения $ T $ электрона по окружности.

Период обращения — это время, за которое электрон совершает один полный оборот. Он равен отношению длины окружности к перпендикулярной составляющей скорости:

$ T = \frac{2 \pi R}{v_\perp} $

Подставив выражение для радиуса $ R $, получим:

$ T = \frac{2 \pi}{v_\perp} \cdot \frac{m_e \cdot v_\perp}{e \cdot B} = \frac{2 \pi m_e}{e \cdot B} $

За время $ T $ электрон сместится вдоль поля на расстояние $ h $, двигаясь со скоростью $ v_\parallel $:

$ h = v_\parallel \cdot T = v \cdot \cos(\alpha) \cdot \frac{2 \pi m_e}{e \cdot B} $

Подставим числовые значения:

$ h = 2000 \text{ м/с} \cdot \cos(60^\circ) \cdot \frac{2 \cdot 3,14 \cdot 9,1 \cdot 10^{-31} \text{ кг}}{1,6 \cdot 10^{-19} \text{ Кл} \cdot 0,1 \text{ Тл}} = 2000 \cdot 0,5 \cdot \frac{57,15 \cdot 10^{-31}}{1,6 \cdot 10^{-20}} = 1000 \cdot 35,72 \cdot 10^{-11} \approx 3,57 \cdot 10^{-7} $ м.

Ответ: радиус спирали $ R \approx 9,85 \cdot 10^{-8} $ м (или 98,5 нм), шаг спирали $ h \approx 3,57 \cdot 10^{-7} $ м (или 357 нм).