Номер 738, страница 103, часть 1 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Парфентьева

Часть 1. 11 класс. Основы электродинамики (продолжение). Магнитное поле. Сила Лоренца - номер 738, страница 103.

Условие.

738. [607] Электрон ускоряется электрическим полем, пройдя разность потенциалов $10^3$ В, а затем влетает в магнитное поле перпендикулярно его границе. На расстоянии 5 см от точки A находится мишень M (рис. 167). Угол между скоростью электрона в точке A и отрезком AM равен $60^\circ$. Чему равна индукция магнитного поля, если известно, что электрон попадает в мишень?

Рис. 167

Решение.

Дано:

$U = 10^3$ В

$l = 5$ см

$\alpha = 60^\circ$

Заряд электрона $q = e \approx 1.6 \cdot 10^{-19}$ Кл

Масса электрона $m \approx 9.1 \cdot 10^{-31}$ кг

Перевод в систему СИ:

$l = 0.05$ м

Найти:

$\text{B}$ - ?

Решение:

1. Электрон, ускоряясь в электрическом поле, приобретает кинетическую энергию. По закону сохранения энергии работа электрического поля равна изменению кинетической энергии электрона. Начальную скорость считаем равной нулю.

Работа поля: $A = eU$.

Кинетическая энергия: $E_k = \frac{mv^2}{2}$.

Приравнивая их, получаем: $eU = \frac{mv^2}{2}$.

Отсюда можем выразить скорость электрона $\text{v}$ при влете в магнитное поле:

$v = \sqrt{\frac{2eU}{m}}$

2. В магнитном поле на электрон действует сила Лоренца, которая перпендикулярна вектору скорости. Эта сила сообщает электрону центростремительное ускорение, заставляя его двигаться по окружности. Величина силы Лоренца:

$F_Л = evB$

Второй закон Ньютона для движения по окружности:

$F_Л = \frac{mv^2}{R}$, где $\text{R}$ – радиус окружности.

Приравнивая выражения для силы, получаем: $evB = \frac{mv^2}{R}$.

Из этого уравнения выразим индукцию магнитного поля $\text{B}$:

$B = \frac{mv}{eR}$

3. Найдем радиус траектории $\text{R}$ из геометрических соображений. Электрон влетает в поле в точке А и попадает в мишень М. Отрезок $AM = l$ является хордой окружности, по которой движется электрон. Скорость $\vec{v}$ в точке А является касательной к этой окружности. Угол между касательной и хордой $AM$ равен $\alpha = 60^\circ$.

Пусть О – центр окружности. Радиус $OA$ перпендикулярен касательной в точке А. Следовательно, угол между радиусом $OA$ и хордой $AM$ равен $90^\circ - \alpha = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ$.

Треугольник $OAM$ является равнобедренным, так как $OA = OM = R$. Значит, углы при основании равны: $\angle OMA = \angle OAM = 30^\circ$.

Центральный угол $\angle AOM = 180^\circ - (\angle OAM + \angle OMA) = 180^\circ - (30^\circ + 30^\circ) = 120^\circ$.

Связь между длиной хорды $\text{l}$, радиусом $\text{R}$ и центральным углом $\angle AOM$ дается формулой: $l = 2R \sin(\frac{\angle AOM}{2})$.

$l = 2R \sin(\frac{120^\circ}{2}) = 2R \sin(60^\circ)$

Выразим радиус:

$R = \frac{l}{2\sin(60^\circ)} = \frac{l}{2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{l}{\sqrt{3}}$

4. Подставим выражения для скорости $\text{v}$ и радиуса $\text{R}$ в формулу для магнитной индукции $\text{B}$:

$B = \frac{m}{eR} v = \frac{m}{e \cdot \frac{l}{\sqrt{3}}} \cdot \sqrt{\frac{2eU}{m}} = \frac{m\sqrt{3}}{el} \sqrt{\frac{2eU}{m}}$

Внесем множители под корень:

$B = \frac{\sqrt{3}}{l} \sqrt{\frac{m^2}{e^2} \cdot \frac{2eU}{m}} = \frac{\sqrt{3}}{l} \sqrt{\frac{2mU}{e}}$

5. Проведем вычисления:

$B = \frac{\sqrt{3}}{0.05} \sqrt{\frac{2 \cdot 9.1 \cdot 10^{-31} \text{ кг} \cdot 10^3 \text{ В}}{1.6 \cdot 10^{-19} \text{ Кл}}} \approx \frac{1.732}{0.05} \sqrt{\frac{18.2 \cdot 10^{-28}}{1.6 \cdot 10^{-19}}} \approx 34.64 \sqrt{11.375 \cdot 10^{-9}}$

$B \approx 34.64 \sqrt{1.1375 \cdot 10^{-8}} \approx 34.64 \cdot 1.0665 \cdot 10^{-4} \approx 3.69 \cdot 10^{-3}$ Тл.

Округляя, получаем $3.7$ мТл.

Ответ: индукция магнитного поля равна приблизительно $3.7 \cdot 10^{-3}$ Тл.