Номер 733, страница 102, часть 1 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Парфентьева

Часть 1. 11 класс. Основы электродинамики (продолжение). Магнитное поле. Сила Лоренца - номер 733, страница 102.

Условие.

733. [602] Электрон влетает под углом $30^\circ$ в область однородного магнитного поля шириной 3 мм (рис. 165), а вылетает под углом $60^\circ$. Скорость электрона $10^6$ м/с. Определите индукцию магнитного поля.

Рис. 165

Решение.

Дано:
Угол влета электрона, $ \alpha = 30^\circ $
Угол вылета электрона, $ \beta = 60^\circ $
Ширина магнитного поля, $ d = 3 \text{ мм} $
Скорость электрона, $ v = 10^6 \text{ м/с} $
Заряд электрона, $ e = 1.6 \cdot 10^{-19} \text{ Кл} $
Масса электрона, $ m = 9.1 \cdot 10^{-31} \text{ кг} $

$ d = 3 \cdot 10^{-3} \text{ м} $

Найти:
Индукцию магнитного поля, $ B $

Решение:

На электрон, движущийся в магнитном поле, действует сила Лоренца. Так как вектор скорости электрона перпендикулярен вектору магнитной индукции (скорость лежит в плоскости рисунка, а поле направлено перпендикулярно ей), модуль силы Лоренца равен:

$ F_Л = e v B $

Эта сила всегда перпендикулярна скорости, поэтому она сообщает электрону центростремительное ускорение, заставляя его двигаться по дуге окружности. По второму закону Ньютона, сила Лоренца равна центростремительной силе:

$ F_Л = F_ц \implies e v B = \frac{m v^2}{R} $

где $ R $ — радиус окружности, по которой движется электрон.

Из этого соотношения можно выразить индукцию магнитного поля $ B $:

$ B = \frac{m v}{e R} $

Чтобы найти $ B $, необходимо определить радиус траектории $ R $. Сделаем это из геометрических соображений, рассмотрев траекторию электрона в магнитном поле.

Вектор скорости всегда является касательной к траектории. Радиус, проведенный из центра окружности к точке на траектории, перпендикулярен касательной (вектору скорости) в этой точке. Углы $ \alpha $ и $ \beta $ даны между вектором скорости и нормалью (вертикалью) к границам поля. Следовательно, радиусы, проведенные к точкам влета и вылета, будут составлять с горизонталью углы $ \alpha = 30^\circ $ и $ \beta = 60^\circ $ соответственно.

Используя правило левой руки для электрона (или правило правой руки и меняя направление силы на противоположное), определим, что сила Лоренца направлена вправо и вниз. Значит, центр окружности, по которой движется электрон, находится справа от его траектории.

Пусть центр окружности $ °$ находится в точке $ (x_c, y_c) $. Границы поля — вертикальные прямые $ x=0 $ (точка влета) и $ x=d $ (точка вылета). Координата $ x $ точки влета связана с центром окружности и радиусом как $ 0 = x_c - R \cos(\alpha) $. Отсюда $ x_c = R \cos(\alpha) $. Координата $ x $ точки вылета связана с центром как $ d = x_c - R \cos(180^\circ - \beta) = x_c + R \cos(\beta) $. Однако, более простой анализ показывает, что ширина поля $ d $ складывается из горизонтальных проекций участков радиусов.

Рассмотрим горизонтальное смещение электрона. Оно равно $ d $. Это смещение можно выразить через радиус $ R $ и углы. Если °— центр кривизны, то горизонтальное расстояние от точки входа до вертикали, проходящей через центр O, равно $ R \sin(\alpha) $. Горизонтальное расстояние от точки выхода до той же вертикали равно $ R \sin(\beta) $. Тогда общая ширина $ d $ будет их суммой. Корректный подход: Пусть центр окружности находится в точке $ C(x_c, y_c) $. Примем, что электрон влетает в поле в точке $ A(0, y_A) $ и вылетает в точке $ B(d, y_B) $. Радиус-вектор $ \vec{CA} $, проведенный из центра к точке влета, перпендикулярен скорости в этой точке. Угол скорости с вертикалью $ \alpha=30^\circ $, значит, угол радиус-вектора с горизонталью также $ \alpha=30^\circ $. Аналогично для точки вылета, угол радиус-вектора $ \vec{CB} $ с горизонталью равен $ \beta=60^\circ $. Горизонтальная координата центра $ x_c $ может быть найдена из геометрии: $ d = R \cos(\alpha) + R \cos(\beta) $. Это неверно. Правильная связь: $ d = R(\sin(\alpha) + \sin(60^\circ)) $? Нет. Вернемся к проекциям. Горизонтальное смещение $ d $ равно разности проекций радиус-векторов на горизонтальную ось. $ d = (x_c + R \cos(\alpha)) - (x_c - R \cos(\beta)) $. Нет. Рассмотрим изменение горизонтальной составляющей импульса, но это сложнее. Самый надежный способ - через координаты. Пусть центр кривизны $ C $ находится справа и ниже траектории. Радиус, проведенный к точке влета $ A $, образует с горизонталью угол $ 180^\circ-\alpha $. Радиус, проведенный к точке вылета $ B $, образует с горизонталью угол $ \beta $. Тогда $ x_A = x_c + R\cos(180^\circ-\alpha) = x_c - R\cos\alpha = 0 \implies x_c = R\cos\alpha $. $ x_B = x_c + R\cos\beta = d $. Подставим $ x_c $: $ d = R\cos\alpha + R\cos\beta = R(\cos\alpha + \cos\beta) $.

Отсюда находим радиус:

$ R = \frac{d}{\cos\alpha + \cos\beta} $

Теперь подставим это выражение для $ R $ в формулу для магнитной индукции $ B $:

$ B = \frac{m v}{e \frac{d}{\cos\alpha + \cos\beta}} = \frac{m v (\cos\alpha + \cos\beta)}{e d} $

Подставим числовые значения:

$ \cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0.866 $
$ \cos(60^\circ) = \frac{1}{2} = 0.5 $

$ B = \frac{9.1 \cdot 10^{-31} \text{ кг} \cdot 10^6 \text{ м/с} \cdot (\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2})}{1.6 \cdot 10^{-19} \text{ Кл} \cdot 3 \cdot 10^{-3} \text{ м}} \approx \frac{9.1 \cdot 10^{-25} \cdot (0.866 + 0.5)}{4.8 \cdot 10^{-22}} $

$ B \approx \frac{9.1 \cdot 10^{-25} \cdot 1.366}{4.8 \cdot 10^{-22}} \approx \frac{12.43 \cdot 10^{-25}}{4.8 \cdot 10^{-22}} \approx 2.59 \cdot 10^{-3} \text{ Тл} $

$ B \approx 2.6 \text{ мТл} $

Ответ: индукция магнитного поля aproximadamente равна $ 2.6 \cdot 10^{-3} \text{ Тл} $ (или 2.6 мТл).