Номер 735, страница 103, часть 1 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Парфентьева

Часть 1. 11 класс. Основы электродинамики (продолжение). Магнитное поле. Сила Лоренца - номер 735, страница 103.

Условие.

735. [604] Расстояние между катодом и анодом равно $\text{L}$. Электроны вылетают из катода под разными углами (рис. 166). Максимальная скорость электронов $v_0$. Между катодом и анодом создано однородное магнитное поле с индукцией $\vec{B}$. При каком минимальном значении магнитной индукции электроны не будут достигать анода?

Рис. 166

Решение.

Дано

Расстояние между катодом и анодом: $\text{L}$

Максимальная скорость электронов: $v_0$

Масса электрона: $m_e$

Заряд электрона по модулю: $\text{e}$

Индукция магнитного поля: $\vec{B}$

Найти

Минимальное значение магнитной индукции $B_{min}$, при котором электроны не будут достигать анода.

Решение

На электрон, движущийся в магнитном поле, действует сила Лоренца, которая определяется выражением $\vec{F}_L = q(\vec{v} \times \vec{B})$, где $q = -e$ – заряд электрона. Эта сила всегда перпендикулярна скорости электрона $\vec{v}$, поэтому она не совершает работы и не изменяет величину скорости частицы. Сила Лоренца является центростремительной силой, заставляющей электрон двигаться по окружности.

Величина силы Лоренца равна $F_L = evB\sin\theta$, где $\theta$ – угол между векторами скорости и магнитной индукции. В данной задаче вектор индукции $\vec{B}$ перпендикулярен плоскости, в которой вылетают электроны, поэтому $\theta = 90^\circ$ и $\sin\theta = 1$. Таким образом, $F_L = evB$.

Центростремительное ускорение электрона $a_c = \frac{v^2}{R}$, где $\text{R}$ – радиус траектории. Согласно второму закону Ньютона, $F_L = m_e a_c$.

Приравнивая выражения, получаем: $evB = \frac{m_e v^2}{R}$.

Отсюда можно выразить радиус траектории электрона:

$R = \frac{m_e v}{eB}$

Электроны не достигнут анода, если максимальное расстояние, на которое они могут удалиться от катода в направлении к аноду, будет меньше или равно $\text{L}$. Это расстояние зависит от начальной скорости $\text{v}$ и угла вылета $\alpha$ (угол между вектором начальной скорости и нормалью к поверхности катода). Чтобы гарантировать, что ни один электрон не достигнет анода, мы должны рассмотреть наихудший случай: электрон с максимальной скоростью $v_0$, летящий под таким углом, при котором он проникает на максимальную глубину $x_{max}$.

Радиус траектории прямо пропорционален скорости, поэтому для нахождения максимального удаления нужно взять максимальную скорость $v_0$.

Проанализируем зависимость максимального удаления $x_{max}$ от угла вылета $\alpha$. Пусть катод находится в плоскости $yOz$, а анод – на расстоянии $x=L$. Электрон вылетает из начала координат.

Траектория электрона – это дуга окружности. Максимальное удаление от катода в направлении оси $\text{x}$ будет для электрона, вылетевшего параллельно поверхности катода (например, вдоль оси $\text{y}$, т.е. при $\alpha = 90^\circ$). В этом случае его траектория будет полуокружностью, и максимальное удаление от катода составит два радиуса $2R$. Для любого другого угла вылета $\alpha$ максимальное удаление будет $x_{max} = R(1+\sin\alpha)$, что меньше или равно $2R$.

Таким образом, условие, при котором ни один электрон не достигнет анода, имеет вид:

$x_{max} \le L \implies 2R_{max} \le L$

где $R_{max}$ – радиус траектории для электрона с максимальной скоростью $v_0$:

$R_{max} = \frac{m_e v_0}{eB}$

Подставим это выражение в неравенство:

$2 \frac{m_e v_0}{eB} \le L$

Мы ищем минимальное значение индукции $B_{min}$, удовлетворяющее этому условию. Выразим $\text{B}$:

$B \ge \frac{2 m_e v_0}{eL}$

Минимальное значение $\text{B}$ соответствует знаку равенства.

$B_{min} = \frac{2 m_e v_0}{eL}$

Ответ: Минимальное значение магнитной индукции, при котором электроны не будут достигать анода, равно $B_{min} = \frac{2 m_e v_0}{eL}$.