Номер 734, страница 103, часть 1 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Парфентьева

Часть 1. 11 класс. Основы электродинамики (продолжение). Магнитное поле. Сила Лоренца - номер 734, страница 103.

Условие.

734. [603] Две частицы с равными зарядами влетают в однородное магнитное поле под углом $\alpha$ к его границе. Определите, во сколько раз будут различаться максимальные расстояния, на которые частицы могут отлететь от границы, если отношение их масс равно $1:4$. Скорости частиц равны.

Решение.

Дано:

$q_1 = q_2 = q$ (заряды частиц равны)

$v_1 = v_2 = v$ (скорости частиц равны)

$\alpha_1 = \alpha_2 = \alpha$ (угол влета в поле одинаков)

$\frac{m_1}{m_2} = \frac{1}{4}$ (отношение масс)

Найти:

$\frac{h_{max,2}}{h_{max,1}}$ - отношение максимальных расстояний, на которые частицы могут отлететь от границы.

Решение:

Когда заряженная частица влетает в однородное магнитное поле, на нее начинает действовать сила Лоренца. Если скорость частицы перпендикулярна вектору магнитной индукции, частица движется по окружности. Если есть составляющая скорости, параллельная вектору индукции, частица движется по винтовой линии. В любом случае, движение в плоскости, перпендикулярной вектору магнитной индукции, является движением по окружности (или ее дуге).

Сила Лоренца $F_Л$ всегда перпендикулярна скорости частицы и вектору магнитной индукции $\vec{B}$. Она сообщает частице центростремительное ускорение. Величина силы Лоренца определяется формулой:

$F_Л = q v_{\perp} B$

где $v_{\perp}$ - составляющая скорости, перпендикулярная вектору $\vec{B}$.

Эта сила является центростремительной силой, которая удерживает частицу на круговой траектории радиусом $\text{R}$:

$F_ц = \frac{m v_{\perp}^2}{R}$

Приравнивая выражения для силы Лоренца и центростремительной силы, получаем:

$q v_{\perp} B = \frac{m v_{\perp}^2}{R}$

Отсюда можно выразить радиус траектории частицы:

$R = \frac{m v_{\perp}}{qB}$

Максимальное расстояние $h_{max}$, на которое частица может отлететь от границы магнитного поля, зависит от геометрии влета и определяется радиусом траектории $\text{R}$. Это расстояние пропорционально радиусу, то есть $h_{max} = k \cdot R$, где коэффициент пропорциональности $\text{k}$ зависит только от угла влета $\alpha$ и ориентации поля относительно границы. Поскольку по условию задачи угол влета $\alpha$, скорость $\text{v}$, заряд $\text{q}$ и магнитное поле $\text{B}$ одинаковы для обеих частиц, то и коэффициент $\text{k}$, и перпендикулярная составляющая скорости $v_{\perp}$ будут для них одинаковыми.

Запишем выражения для максимального расстояния для первой и второй частиц:

$h_{max,1} = k \cdot R_1 = k \frac{m_1 v_{\perp}}{qB}$

$h_{max,2} = k \cdot R_2 = k \frac{m_2 v_{\perp}}{qB}$

Найдем отношение этих расстояний:

$\frac{h_{max,2}}{h_{max,1}} = \frac{k \frac{m_2 v_{\perp}}{qB}}{k \frac{m_1 v_{\perp}}{qB}} = \frac{m_2}{m_1}$

Из условия задачи известно, что $\frac{m_1}{m_2} = \frac{1}{4}$, следовательно, обратное отношение $\frac{m_2}{m_1} = 4$.

Таким образом, отношение максимальных расстояний равно отношению масс частиц.

$\frac{h_{max,2}}{h_{max,1}} = 4$

Ответ: Максимальные расстояния, на которые частицы могут отлететь от границы, будут различаться в 4 раза.