Номер 830, страница 117, часть 1 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Парфентьева

Часть 1. 11 класс. Колебания и волны. Механические волны. Длина волны. Скорость волны. Уравнение бегущей волны - номер 830, страница 117.

Условие.

830. [682] По длинному шнуру начинает бежать волна со скоростью 200 м/с. Амплитуда колебаний точек шнура 5 см, частота колебаний 5 Гц. Запишите уравнение бегущей волны, взяв за начало отсчёта координат конец шнура ($x = 0$), а за начало отсчёта времени — момент начала колебаний этого конца.

Решение.

Дано:

Скорость распространения волны $v = 200$ м/с

Амплитуда колебаний $A = 5$ см

Частота колебаний $\nu = 5$ Гц

$A = 5 \text{ см} = 0.05 \text{ м}$

Найти:

Уравнение бегущей волны $y(x, t)$.

Решение:

Уравнение плоской гармонической волны, распространяющейся в положительном направлении оси $\text{x}$, в общем виде записывается как:

$y(x, t) = A \sin(\omega t - kx + \phi_0)$

где $\text{A}$ — амплитуда волны, $\omega$ — циклическая (угловая) частота, $\text{k}$ — волновое число, а $\phi_0$ — начальная фаза.

Согласно условию, начало отсчета времени ($t = 0$) совпадает с моментом начала колебаний в точке с координатой $x = 0$. Это означает, что при $t=0$ и $x=0$ смещение $\text{y}$ равно нулю, $y(0,0)=0$, и частица начинает движение в положительном направлении. Таким условиям соответствует синусоидальная функция с нулевой начальной фазой ($\phi_0 = 0$).

Следовательно, искомое уравнение примет вид:

$y(x, t) = A \sin(\omega t - kx)$

Теперь определим параметры этого уравнения:

1. Амплитуда $\text{A}$ дана в условии и в системе СИ составляет $0.05$ м.

2. Циклическая частота $\omega$ связана с линейной частотой $\nu$ соотношением:

$\omega = 2\pi\nu$

Подставим значение частоты:

$\omega = 2\pi \cdot 5 = 10\pi$ рад/с.

3. Волновое число $\text{k}$ связано со скоростью волны $\text{v}$ и циклической частотой $\omega$ как:

$k = \frac{\omega}{v}$

Подставим известные значения:

$k = \frac{10\pi \text{ рад/с}}{200 \text{ м/с}} = \frac{\pi}{20}$ рад/м.

Теперь, подставив все найденные параметры ($\text{A}$, $\omega$, $\text{k}$) в уравнение волны, получаем окончательный вид уравнения:

$y(x, t) = 0.05 \sin(10\pi t - \frac{\pi}{20} x)$

Это уравнение описывает смещение $\text{y}$ (в метрах) любой точки шнура с координатой $\text{x}$ (в метрах) в любой момент времени $\text{t}$ (в секундах), при условии, что $t \ge x/v$.

Ответ: $y(x, t) = 0.05 \sin(10\pi t - \frac{\pi}{20} x)$.