Номер 828, страница 116, часть 1 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Парфентьева

Часть 1. 11 класс. Колебания и волны. Механические волны. Длина волны. Скорость волны. Уравнение бегущей волны - номер 828, страница 116.

Условие.

828. [680] Камень брошен со скалы. Всплеск от его падения в воду был услышан через 5,3 с. Определите высоту скалы. Скорость звука в воздухе 330 м/с.

Решение.

Дано:

$T = 5,3 \text{ с}$

$v_{зв} = 330 \text{ м/с}$

$g \approx 9,8 \text{ м/с}^2$ (ускорение свободного падения)

Найти:

$h - ?$

Решение:

Общее время $\text{T}$, прошедшее с момента броска камня до момента, когда был услышан всплеск, состоит из двух промежутков времени: времени падения камня ($t_1$) и времени, за которое звук от всплеска достиг наблюдателя ($t_2$).

$T = t_1 + t_2$

Камень брошен со скалы, что означает движение с нулевой начальной скоростью (свободное падение). Высота скалы $\text{h}$ и время падения $t_1$ связаны соотношением:

$h = \frac{g t_1^2}{2}$

Из этой формулы выразим время падения камня:

$t_1 = \sqrt{\frac{2h}{g}}$

Звук распространяется в воздухе с постоянной скоростью $v_{зв}$. Время $t_2$, за которое звук проходит расстояние, равное высоте скалы $\text{h}$, вычисляется по формуле:

$t_2 = \frac{h}{v_{зв}}$

Теперь подставим выражения для $t_1$ и $t_2$ в формулу для общего времени:

$T = \sqrt{\frac{2h}{g}} + \frac{h}{v_{зв}}$

Мы получили уравнение с одной неизвестной — высотой $\text{h}$. Подставим в него известные числовые значения:

$5,3 = \sqrt{\frac{2h}{9,8}} + \frac{h}{330}$

Для удобства решения этого иррационального уравнения введем замену переменной. Пусть $y = \sqrt{h}$, тогда $h = y^2$. Уравнение примет вид квадратного уравнения относительно $\text{y}$:

$\frac{1}{330}y^2 + \sqrt{\frac{2}{9,8}}y - 5,3 = 0$

Упростим коэффициент при $\text{y}$:

$\sqrt{\frac{2}{9,8}} = \sqrt{\frac{1}{4,9}} = \frac{1}{\sqrt{4,9}} \approx \frac{1}{2,2136} \approx 0,4518$

Уравнение выглядит так:

$\frac{1}{330}y^2 + 0,4518y - 5,3 = 0$

Решим это квадратное уравнение, используя формулу для корней $y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$, где $a=\frac{1}{330}$, $b \approx 0,4518$, $c = -5,3$. Так как $y = \sqrt{h}$, нас интересует только положительный корень.

Найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = (0,4518)^2 - 4 \cdot \frac{1}{330} \cdot (-5,3) \approx 0,2041 + \frac{21,2}{330} \approx 0,2041 + 0,0642 = 0,2683$

Найдем корень из дискриминанта:

$\sqrt{D} \approx \sqrt{0,2683} \approx 0,518$

Теперь найдем значение $\text{y}$:

$y = \frac{-0,4518 + 0,518}{2 \cdot \frac{1}{330}} = \frac{0,0662}{\frac{2}{330}} = 0,0662 \cdot 165 = 10,923$

Мы нашли значение $y = \sqrt{h}$. Теперь найдем саму высоту $\text{h}$:

$h = y^2 = (10,923)^2 \approx 119,31 \text{ м}$

Округлим полученный результат до целого числа.

$h \approx 119 \text{ м}$

Ответ: высота скалы составляет приблизительно $119 \text{ м}$.