Номер 831, страница 117, часть 1 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Парфентьева

Часть 1. 11 класс. Колебания и волны. Механические волны. Длина волны. Скорость волны. Уравнение бегущей волны - номер 831, страница 117.

Условие.

831. [683] Уравнение волны имеет вид $s = 0.2\sin\left[20\pi\left(t - \frac{x}{300}\right)\right]$. Определите амплитуду и период колебаний точек среды, длину волны и запишите уравнение колебаний в точке, находящейся на расстоянии 15 м от источника.

Решение.

Дано:

Уравнение волны: $s = 0,2\sin[20\pi(t - \frac{x}{300})]$

Расстояние от источника: $x = 15$ м

Все величины в уравнении даны в системе СИ (смещения и расстояния в метрах, время в секундах).

Найти:

Амплитуду $\text{A}$

Период колебаний $\text{T}$

Длину волны $\lambda$

Уравнение колебаний $s(t)$ в точке $x = 15$ м

Решение:

Общий вид уравнения плоской бегущей волны, распространяющейся в положительном направлении оси x, имеет вид:

$s(x,t) = A\sin(\omega t - kx)$ или $s(x,t) = A\sin(2\pi(\frac{t}{T} - \frac{x}{\lambda}))$

где $\text{A}$ — амплитуда, $\omega$ — угловая частота, $\text{k}$ — волновое число, $\text{T}$ — период, $\lambda$ — длина волны.

Преобразуем данное в условии уравнение, раскрыв скобки в аргументе синуса:

$s = 0,2\sin(20\pi t - \frac{20\pi x}{300}) = 0,2\sin(20\pi t - \frac{\pi x}{15})$

Амплитуда колебаний точек среды

Сравнивая полученное уравнение $s = 0,2\sin(20\pi t - \frac{\pi x}{15})$ с общей формой $s = A\sin(\omega t - kx)$, видим, что множитель перед функцией синуса является амплитудой.

$A = 0,2$ м.

Ответ: Амплитуда колебаний $A = 0,2$ м.

Период колебаний точек среды

Из сравнения уравнений находим, что угловая частота (коэффициент при $\text{t}$) равна:

$\omega = 20\pi$ рад/с.

Период колебаний $\text{T}$ связан с угловой частотой соотношением $T = \frac{2\pi}{\omega}$.

$T = \frac{2\pi}{20\pi} = \frac{1}{10} = 0,1$ с.

Ответ: Период колебаний $T = 0,1$ с.

Длина волны

Из сравнения уравнений находим, что волновое число (коэффициент при $\text{x}$) равно:

$k = \frac{\pi}{15}$ рад/м.

Длина волны $\lambda$ связана с волновым числом соотношением $\lambda = \frac{2\pi}{k}$.

$\lambda = \frac{2\pi}{\pi/15} = 2\pi \cdot \frac{15}{\pi} = 30$ м.

Альтернативный способ: из исходного уравнения $s = 0,2\sin[20\pi(t - \frac{x}{300})]$ и его сравнения с формой $s = A\sin(\omega(t - \frac{x}{v}))$ можно определить скорость волны $v = 300$ м/с. Тогда длина волны $\lambda = v \cdot T = 300 \cdot 0,1 = 30$ м.

Ответ: Длина волны $\lambda = 30$ м.

Уравнение колебаний в точке, находящейся на расстоянии 15 м от источника

Чтобы найти уравнение колебаний для точки с координатой $x=15$ м, подставим это значение в исходное уравнение волны:

$s(t) = 0,2\sin[20\pi(t - \frac{15}{300})]$

Упростим выражение в скобках:

$s(t) = 0,2\sin[20\pi(t - \frac{1}{20})]$

Раскроем скобки в аргументе синуса:

$s(t) = 0,2\sin(20\pi t - \frac{20\pi}{20}) = 0,2\sin(20\pi t - \pi)$

Используя тригонометрическую формулу приведения $\sin(\alpha - \pi) = -\sin(\alpha)$, получаем окончательный вид уравнения:

$s(t) = -0,2\sin(20\pi t)$

Ответ: Уравнение колебаний в заданной точке имеет вид $s(t) = -0,2\sin(20\pi t)$ (в СИ).