Номер 833, страница 117, часть 1 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Парфентьева

Часть 1. 11 класс. Колебания и волны. Механические волны. Длина волны. Скорость волны. Уравнение бегущей волны - номер 833, страница 117.

Условие.

833. [685] Волна возбуждается источником, уравнение колебаний которого $s = 0,1 \sin 5\pi t$. Скорость распространения волны 100 м/с. Запишите уравнение волны и найдите смещение от положения равновесия, скорость и ускорение точки, находящейся на расстоянии 180 м от источника колебаний в момент времени, равный 2 с.

Решение.

Дано:

Уравнение колебаний источника: $s = 0,1 \sin(5\pi t)$

Из уравнения находим:

Амплитуда колебаний: $A = 0,1$ м

Циклическая частота: $\omega = 5\pi$ рад/с

Скорость распространения волны: $v = 100$ м/с

Расстояние от источника: $x = 180$ м

Момент времени: $t = 2$ с

Все данные представлены в системе СИ.

Найти:

1. Уравнение волны $s(x, t)$

2. Смещение $\text{s}$, скорость $\text{u}$ и ускорение $\text{a}$ в точке $\text{x}$ в момент времени $\text{t}$

Решение:

Запишите уравнение волны

Общий вид уравнения плоской волны, распространяющейся в положительном направлении оси $\text{x}$, имеет вид:

$s(x, t) = A \sin(\omega(t - \frac{x}{v}))$

где $\text{A}$ - амплитуда, $\omega$ - циклическая частота, $\text{v}$ - скорость распространения волны.

Подставляем известные значения $A = 0,1$ м, $\omega = 5\pi$ рад/с и $v = 100$ м/с в общее уравнение волны:

$s(x, t) = 0,1 \sin(5\pi(t - \frac{x}{100}))$

Данное уравнение можно также представить в виде $s(x, t) = A \sin(\omega t - kx)$, где волновое число $k = \frac{\omega}{v}$.

$k = \frac{5\pi \text{ рад/с}}{100 \text{ м/с}} = \frac{\pi}{20}$ рад/м

Тогда уравнение волны примет вид: $s(x, t) = 0,1 \sin(5\pi t - \frac{\pi}{20}x)$.

Ответ: Уравнение волны: $s(x, t) = 0,1 \sin(5\pi(t - \frac{x}{100}))$.

Найдите смещение от положения равновесия, скорость и ускорение точки

Для нахождения искомых величин подставим значения $x = 180$ м и $t = 2$ с в уравнения смещения, скорости и ускорения.

1. Смещение $\text{s}$:

$s(180, 2) = 0,1 \sin(5\pi(2 - \frac{180}{100})) = 0,1 \sin(5\pi(2 - 1,8)) = 0,1 \sin(5\pi \cdot 0,2) = 0,1 \sin(\pi)$

Так как $\sin(\pi) = 0$, то смещение точки равно нулю.

$s = 0$ м.

2. Скорость $\text{u}$:

Скорость колебаний точки среды — это первая производная от смещения по времени:

$u(x, t) = \frac{\partial s}{\partial t} = \frac{\partial}{\partial t} [0,1 \sin(5\pi(t - \frac{x}{100}))] = 0,1 \cdot 5\pi \cos(5\pi(t - \frac{x}{100})) = 0,5\pi \cos(5\pi(t - \frac{x}{100}))$

Подставим значения $\text{x}$ и $\text{t}$:

$u(180, 2) = 0,5\pi \cos(5\pi(2 - \frac{180}{100})) = 0,5\pi \cos(\pi)$

Так как $\cos(\pi) = -1$, то скорость точки равна:

$u = -0,5\pi \approx -1,57$ м/с.

3. Ускорение $\text{a}$:

Ускорение колебаний точки среды — это вторая производная от смещения по времени:

$a(x, t) = \frac{\partial u}{\partial t} = \frac{\partial}{\partial t} [0,5\pi \cos(5\pi(t - \frac{x}{100}))] = -0,5\pi \cdot 5\pi \sin(5\pi(t - \frac{x}{100})) = -2,5\pi^2 \sin(5\pi(t - \frac{x}{100}))$

Подставим значения $\text{x}$ и $\text{t}$:

$a(180, 2) = -2,5\pi^2 \sin(5\pi(2 - \frac{180}{100})) = -2,5\pi^2 \sin(\pi)$

Так как $\sin(\pi) = 0$, то ускорение точки равно нулю.

$a = 0$ м/с².

Ответ: Смещение $s = 0$ м; скорость $u \approx -1,57$ м/с; ускорение $a = 0$ м/с².