Номер 860, страница 120, часть 1 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Парфентьева

Часть 1. 11 класс. Колебания и волны. Электромагнитные волны. Электромагнитная волна. Плотность потока электромагнитного излучения. Свойства электромагнитных волн - номер 860, страница 120.

Условие.

860. [702] Колебательный контур состоит из катушки индуктивностью $4 \, \mu \text{Гн}$ и конденсатора, ёмкость которого можно изменять от $0.02 \, \mu \text{Ф}$ до $0.006 \, \mu \text{Ф}$. На какой диапазон длин волн можно настроить этот колебательный контур?

Решение.

Дано:

Индуктивность катушки, $L = 4 \text{ мкГн} = 4 \cdot 10^{-6} \text{ Гн}$

Минимальная ёмкость конденсатора, $C_{min} = 0,006 \text{ мкФ} = 6 \cdot 10^{-9} \text{ Ф}$

Максимальная ёмкость конденсатора, $C_{max} = 0,02 \text{ мкФ} = 2 \cdot 10^{-8} \text{ Ф}$

Скорость света в вакууме, $c = 3 \cdot 10^8 \text{ м/с}$

Найти:

Диапазон длин волн $\lambda_{min} - \lambda_{max}$

Решение:

Длина электромагнитной волны $\lambda$, излучаемой колебательным контуром, связана с периодом его собственных колебаний $\text{T}$ и скоростью света $\text{c}$ соотношением:

$\lambda = c \cdot T$

Период колебаний в LC-контуре определяется по формуле Томсона:

$T = 2\pi\sqrt{LC}$

Подставив выражение для периода в формулу для длины волны, получим рабочую формулу:

$\lambda = 2\pi c\sqrt{LC}$

Поскольку индуктивность $\text{L}$ и скорость света $\text{c}$ являются постоянными величинами, диапазон длин волн будет определяться диапазоном изменения ёмкости конденсатора от $C_{min}$ до $C_{max}$.

1. Рассчитаем минимальную длину волны, которая соответствует минимальной ёмкости $C_{min}$:

$\lambda_{min} = 2\pi c\sqrt{LC_{min}}$

$\lambda_{min} = 2\pi \cdot (3 \cdot 10^8 \text{ м/с}) \cdot \sqrt{(4 \cdot 10^{-6} \text{ Гн}) \cdot (6 \cdot 10^{-9} \text{ Ф})} = 6\pi \cdot 10^8 \cdot \sqrt{24 \cdot 10^{-15}} \text{ м}$

$\lambda_{min} = 6\pi \cdot 10^8 \cdot \sqrt{2,4 \cdot 10^{-14}} \text{ м} \approx 6 \cdot 3,14 \cdot 10^8 \cdot 1,55 \cdot 10^{-7} \text{ м} \approx 292 \text{ м}$

2. Рассчитаем максимальную длину волны, которая соответствует максимальной ёмкости $C_{max}$:

$\lambda_{max} = 2\pi c\sqrt{LC_{max}}$

$\lambda_{max} = 2\pi \cdot (3 \cdot 10^8 \text{ м/с}) \cdot \sqrt{(4 \cdot 10^{-6} \text{ Гн}) \cdot (2 \cdot 10^{-8} \text{ Ф})} = 6\pi \cdot 10^8 \cdot \sqrt{8 \cdot 10^{-14}} \text{ м}$

$\lambda_{max} = 6\pi \cdot 10^8 \cdot 2\sqrt{2} \cdot 10^{-7} \text{ м} \approx 6 \cdot 3,14 \cdot 10^8 \cdot 2,83 \cdot 10^{-7} \text{ м} \approx 533 \text{ м}$

Следовательно, контур можно настроить на волны в диапазоне от 292 м до 533 м.

Ответ:

Колебательный контур можно настроить на диапазон длин волн от 292 м до 533 м.