Номер 867, страница 121, часть 1 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Парфентьева

Часть 1. 11 класс. Оптика. Световые волны. Скорость света. Законы отражения и преломления света - номер 867, страница 121.

Условие.

867. [707] Человек ростом 1,6 м отходит от фонаря, подвешенного на высоте 10 м. Определите размер тени человека, падающей на горизонтальную дорогу, в тот момент, когда он отойдёт от фонаря на расстояние 5 м. Будет ли постоянной скорость тени головы человека, если скорость человека постоянна?

Решение.

Определите размер тени человека, падающей на горизонтальную дорогу, в тот момент, когда он отойдёт от фонаря на расстояние 5 м.

Дано:

Рост человека, $h = 1,6$ м

Высота фонаря, $H = 10$ м

Расстояние от человека до фонаря, $d = 5$ м

Найти:

Длина тени человека, $L - ?$

Решение:

Рассмотрим два прямоугольных треугольника. Первый, большой треугольник, образован столбом фонаря (катет $\text{H}$), расстоянием от основания столба до конца тени (катет $d+L$) и лучом света от фонаря до конца тени (гипотенуза). Второй, малый треугольник, образован человеком (катет $\text{h}$), его тенью (катет $\text{L}$) и тем же лучом света (гипотенуза).

Эти два треугольника подобны по двум углам (один угол общий, второй — прямой). Из подобия треугольников следует пропорциональность их соответствующих сторон:

$ \frac{H}{h} = \frac{d+L}{L} $

Выразим из этой пропорции длину тени $\text{L}$:

$ H \cdot L = h \cdot (d+L) $

$ H \cdot L = h \cdot d + h \cdot L $

$ H \cdot L - h \cdot L = h \cdot d $

$ L(H - h) = h \cdot d $

$ L = \frac{h \cdot d}{H - h} $

Подставим числовые значения:

$ L = \frac{1,6 \text{ м} \cdot 5 \text{ м}}{10 \text{ м} - 1,6 \text{ м}} = \frac{8 \text{ м}^2}{8,4 \text{ м}} = \frac{80}{84} \text{ м} = \frac{20}{21} \text{ м} \approx 0,95 \text{ м} $

Ответ: Размер тени человека равен приблизительно 0,95 м.

Будет ли постоянной скорость тени головы человека, если скорость человека постоянна?

Решение:

Обозначим расстояние от человека до фонаря в момент времени $\text{t}$ как $d(t)$. Скорость человека $v_ч = \frac{d(d(t))}{dt}$, и по условию она постоянна ($v_ч = const$).

Координата конца тени (головы тени) относительно основания фонаря будет $x_т = d(t) + L(t)$.

Используя выведенную ранее формулу для длины тени $\text{L}$, подставим её в выражение для $x_т$:

$ L(t) = \frac{h \cdot d(t)}{H - h} $

$ x_т(t) = d(t) + \frac{h \cdot d(t)}{H - h} = d(t) \cdot (1 + \frac{h}{H-h}) = d(t) \cdot (\frac{H-h+h}{H-h}) = d(t) \cdot \frac{H}{H-h} $

Скорость тени головы человека $v_т$ — это производная от её координаты $x_т$ по времени:

$ v_т = \frac{dx_т(t)}{dt} = \frac{d}{dt} \left( d(t) \cdot \frac{H}{H-h} \right) $

Так как $\text{H}$ и $\text{h}$ — постоянные величины, множитель $\frac{H}{H-h}$ является константой. Его можно вынести за знак производной:

$ v_т = \frac{H}{H-h} \cdot \frac{d(d(t))}{dt} = \frac{H}{H-h} \cdot v_ч $

Поскольку скорость человека $v_ч$ постоянна, а величины $\text{H}$ и $\text{h}$ также постоянны, то скорость тени головы человека $v_т$ будет произведением двух констант, то есть тоже будет постоянной величиной.

Ответ: Да, скорость тени головы человека будет постоянной.