Номер 872, страница 122, часть 1 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Парфентьева

Часть 1. 11 класс. Оптика. Световые волны. Скорость света. Законы отражения и преломления света - номер 872, страница 122.

Условие.

872 H. Параллельный пучок лучей падает на полусферу, находящуюся на плоском зеркале, под углом $\alpha$ к зеркалу. Определите размер тени на вертикальном экране. Поверхность полусферы свет не отражает. Радиус полусферы $\text{R}$.

Решение.

Дано

Полусфера радиуса $\text{R}$ на плоском зеркале.

Параллельный пучок лучей, падающий под углом $\alpha$ к зеркалу.

Вертикальный экран.

Все данные уже в системе СИ или являются безразмерными величинами.

Найти:

Размер тени $\text{H}$ на экране.

Решение

Эта задача эквивалентна задаче о тени от полусферы, освещенной двумя параллельными пучками света. Первый пучок — это исходный, падающий сверху под углом $\alpha$ к горизонтали. Второй пучок — это свет, отраженный от зеркала, который распространяется снизу вверх, также под углом $\alpha$ к горизонтали.

Введем систему координат. Пусть зеркало находится в плоскости $xy$, а центр основания полусферы — в начале координат $(0,0,0)$. Уравнение поверхности полусферы: $x^2+y^2+z^2=R^2$ при $z \ge 0$. Пусть лучи света лежат в плоскости $xz$. Экран является вертикальной плоскостью, перпендикулярной оси $\text{x}$, например, $x = x_s$.

Тень на экране — это объединение двух теней: от прямого пучка света ($S_1$) и от отраженного ($S_2$).

Найдем размеры этих теней в поперечном сечении (плоскость $xz$), где полусфера представляет собой полукруг.

1. Тень от прямого пучка света ($S_1$)

Лучи падают сверху, их направление в плоскости $xz$ образует угол $\alpha$ с отрицательным направлением оси $\text{x}$. Тангенс угла наклона лучей к оси $\text{x}$ равен $\tan(\pi - \alpha) = -\tan\alpha$ - нет, угол $\alpha$ дан к зеркалу, значит наклон лучей к оси $\text{x}$ равен $\tan\alpha$ (если лучи идут слева направо) или $-\tan\alpha$ (справа налево). Пусть лучи имеют направление $(-\cos\alpha, -\sin\alpha)$. Уравнения лучей: $z = x \tan\alpha + c$.

Верхняя граница тени образуется лучом, касательным к верхней части полусферы. Точка касания $(-R\sin\alpha, R\cos\alpha)$. Уравнение этого луча: $z = x\tan\alpha + \frac{R}{\cos\alpha}$.

Нижняя граница тени образуется лучом, проходящим через край основания полусферы, точку $(R, 0)$. Уравнение этого луча: $z = \tan\alpha(x-R) = x\tan\alpha - R\tan\alpha$.

2. Тень от отраженного пучка света ($S_2$)

Лучи идут снизу, их направление в плоскости $xz$ составляет угол $\alpha$ с отрицательным направлением оси $\text{x}$. Тангенс угла наклона лучей к оси $\text{x}$ равен $-\tan\alpha$. Уравнения лучей: $z = -x \tan\alpha + c$.

Верхняя граница тени образуется лучом, касательным к полусфере. Точка касания $(R\sin\alpha, R\cos\alpha)$. Уравнение этого луча: $z = -x\tan\alpha + \frac{R}{\cos\alpha}$.

Нижняя граница тени образуется лучом, проходящим через край основания $(-R, 0)$. Уравнение этого луча: $z = -\tan\alpha(x+R) = -x\tan\alpha - R\tan\alpha$.

Общая высота тени (объединения $S_1$ и $S_2$) на экране в положении $x_s$ будет равна разности между самой верхней и самой нижней границами.$z_{max} = -x_s\tan\alpha + \frac{R}{\cos\alpha}$ (из $S_2$).$z_{min} = x_s\tan\alpha - R\tan\alpha$ (из $S_1$).Высота $H(x_s) = z_{max} - z_{min} = -2x_s\tan\alpha + R(\frac{1}{\cos\alpha} + \tan\alpha)$.

Эта высота зависит от положения экрана $x_s$. Поскольку в задаче требуется найти определенный "размер тени", это означает, что он не должен зависеть от положения экрана. Такая ситуация возможна, если экран расположен в плоскости симметрии задачи, то есть проходит через центр основания полусферы, $x_s=0$.

При $x_s=0$ тени от прямого и отраженного пучков света полностью совпадают.Верхняя граница тени находится на высоте $z_{max} = \frac{R}{\cos\alpha}$.Нижняя граница тени находится на высоте $z_{min} = -R\tan\alpha$.

Тогда полная высота тени $\text{H}$ равна:$H = z_{max} - z_{min} = \frac{R}{\cos\alpha} - (-R\tan\alpha) = \frac{R}{\cos\alpha} + \frac{R\sin\alpha}{\cos\alpha} = R\frac{1+\sin\alpha}{\cos\alpha}$.

Эту формулу можно упростить, используя тригонометрические тождества:$1+\sin\alpha = (\sin\frac{\alpha}{2} + \cos\frac{\alpha}{2})^2$$\cos\alpha = \cos^2\frac{\alpha}{2} - \sin^2\frac{\alpha}{2} = (\cos\frac{\alpha}{2} - \sin\frac{\alpha}{2})(\cos\frac{\alpha}{2} + \sin\frac{\alpha}{2})$$H = R \frac{(\sin\frac{\alpha}{2} + \cos\frac{\alpha}{2})^2}{(\cos\frac{\alpha}{2} - \sin\frac{\alpha}{2})(\cos\frac{\alpha}{2} + \sin\frac{\alpha}{2})} = R \frac{\cos\frac{\alpha}{2} + \sin\frac{\alpha}{2}}{\cos\frac{\alpha}{2} - \sin\frac{\alpha}{2}}$Разделив числитель и знаменатель на $\cos\frac{\alpha}{2}$:$H = R \frac{1 + \tan\frac{\alpha}{2}}{1 - \tan\frac{\alpha}{2}} = R \tan(\frac{\pi}{4} + \frac{\alpha}{2})$.

Ширина тени определяется диаметром полусферы и равна $2R$, так как лучи света параллельны плоскости $xz$ и не изменяют поперечный размер в направлении $\text{y}$. Под "размером тени" обычно понимают ее максимальный линейный размер, в данном случае высоту, так как она зависит от угла $\alpha$.

Ответ: Размер (высота) тени на вертикальном экране, проходящем через центр основания полусферы, равен $H = R \tan(\frac{\pi}{4} + \frac{\alpha}{2})$ или $H = R\frac{1+\sin\alpha}{\cos\alpha}$.