Номер 879, страница 122, часть 1 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Парфентьева

Часть 1. 11 класс. Оптика. Световые волны. Скорость света. Законы отражения и преломления света - номер 879, страница 122.

Условие.

879. [719] Человек заходит в воду, погрузившись на половину своего роста. Рост человека 1,8 м, показатель преломления воды 1,33. Какого роста кажется человек наблюдателю, если луч, отражённый от ног человека в воде и преломлённый, попадает в глаз наблюдателю под углом $60^\circ$ к поверхности воды?

Решение.

Дано:

Полный рост человека: $H = 1,8$ м.

Показатель преломления воды: $n_1 = 1,33$.

Угол преломленного луча к поверхности воды: $\delta = 60°$.

Человек погружен в воду на половину своего роста.

Показатель преломления воздуха: $n_2 = 1$.

Все данные представлены в системе СИ или являются безразмерными величинами, перевод не требуется.

Найти:

Кажущийся рост человека — $H_{каж}$.

Решение:

Кажущийся рост человека $H_{каж}$ состоит из высоты его надводной части $h_{надв}$ и кажущейся глубины его подводной части $h_{каж.глуб}$.

Высота надводной части не изменяется и равна половине роста человека:

$h_{надв} = \frac{H}{2} = \frac{1,8 \text{ м}}{2} = 0,9 \text{ м}$.

Реальная глубина подводной части (от ног до поверхности воды) также равна половине роста:

$h_{реал.глуб} = \frac{H}{2} = \frac{1,8 \text{ м}}{2} = 0,9 \text{ м}$.

Из-за преломления света на границе вода-воздух подводная часть кажется короче. Чтобы найти ее кажущуюся глубину $h_{каж.глуб}$, воспользуемся законом Снеллиуса:

$n_1 \sin\alpha = n_2 \sin\beta$

где $n_1$ — показатель преломления воды, $n_2$ — показатель преломления воздуха, $\alpha$ — угол падения луча (в воде), $\beta$ — угол преломления (в воздухе). Углы измеряются относительно нормали (перпендикуляра) к поверхности раздела сред.

В условии дан угол $\delta = 60°$ между преломленным лучом и поверхностью воды. Угол преломления $\beta$ — это угол между лучом и нормалью, следовательно:

$\beta = 90° - \delta = 90° - 60° = 30°$.

Теперь из закона Снеллиуса найдем синус угла падения $\alpha$:

$1,33 \cdot \sin\alpha = 1 \cdot \sin(30°)$

$\sin\alpha = \frac{\sin(30°)}{1,33} = \frac{0,5}{1,33} \approx 0,3759$.

Связь между реальной глубиной $h_{реал.глуб}$, кажущейся глубиной $h_{каж.глуб}$ и углами падения и преломления можно выразить через тангенсы этих углов. Если рассмотреть ход лучей, то горизонтальное смещение луча на поверхности воды $\text{L}$ можно выразить двумя способами:

$L = h_{реал.глуб} \cdot \tan\alpha$

$L = h_{каж.глуб} \cdot \tan\beta$

Отсюда получаем формулу для кажущейся глубины:

$h_{каж.глуб} = h_{реал.глуб} \cdot \frac{\tan\alpha}{\tan\beta}$.

Найдем $\tan\alpha$, зная $\sin\alpha$, по основному тригонометрическому тождеству:

$\cos\alpha = \sqrt{1 - \sin^2\alpha} = \sqrt{1 - (0,3759)^2} \approx \sqrt{1 - 0,1413} = \sqrt{0,8587} \approx 0,9267$.

$\tan\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} \approx \frac{0,3759}{0,9267} \approx 0,4056$.

Найдем $\tan\beta$:

$\tan\beta = \tan(30°) = \frac{1}{\sqrt{3}} \approx 0,5774$.

Теперь вычислим кажущуюся глубину:

$h_{каж.глуб} \approx 0,9 \text{ м} \cdot \frac{0,4056}{0,5774} \approx 0,9 \text{ м} \cdot 0,7025 \approx 0,632 \text{ м}$.

Полный кажущийся рост человека равен сумме высоты надводной части и кажущейся глубины подводной части:

$H_{каж} = h_{надв} + h_{каж.глуб} \approx 0,9 \text{ м} + 0,632 \text{ м} = 1,532 \text{ м}$.

Ответ: кажущийся рост человека составляет примерно $1,53$ м.