Номер 882, страница 123, часть 1 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Парфентьева

Часть 1. 11 класс. Оптика. Световые волны. Скорость света. Законы отражения и преломления света - номер 882, страница 123.

Условие.

882. [722] Рассеянный пучок лучей падает на верхнюю грань стеклянного куба (рис. 190). Показатель преломления стекла 1,5. Будут ли лучи выходить через боковые грани куба?

Рис. 190

Решение.

Дано:

Показатель преломления стекла, $n = 1,5$

Показатель преломления воздуха, $n_0 = 1$

Найти:

Будут ли лучи выходить через боковые грани куба?

Решение:

Луч света может выйти из более плотной оптической среды (стекла) в менее плотную (воздух) только в том случае, если угол падения на границу раздела сред меньше предельного угла полного внутреннего отражения. Если угол падения больше или равен предельному углу, свет полностью отражается обратно в стекло.

1. Найдем предельный угол полного внутреннего отражения ($\alpha_{пр}$) для границы стекло-воздух. Синус предельного угла определяется отношением показателей преломления:

$\sin(\alpha_{пр}) = \frac{n_0}{n} = \frac{1}{1,5} \approx 0,667$

$\alpha_{пр} = \arcsin\left(\frac{1}{1,5}\right) \approx 41,8^\circ$

2. Рассмотрим ход луча в кубе. Пусть луч падает на верхнюю грань куба под углом $\alpha$ к нормали. После преломления он распространяется в стекле под углом $\beta$ к той же нормали. Согласно закону преломления Снеллиуса:

$n_0 \sin(\alpha) = n \sin(\beta)$

$\sin(\beta) = \frac{n_0 \sin(\alpha)}{n} = \frac{\sin(\alpha)}{1,5}$

3. Этот же луч падает на боковую грань куба. Угол падения луча на боковую грань ($\gamma$) связан с углом преломления на верхней грани ($\beta$) простым геометрическим соотношением (так как нормали к верхней и боковой граням перпендикулярны):

$\gamma = 90^\circ - \beta$

4. Для того чтобы луч вышел через боковую грань, должно выполняться условие $\gamma < \alpha_{пр}$. Проверим, возможно ли это.

Найдем диапазон возможных значений угла $\gamma$. Угол падения на верхнюю грань $\alpha$ может изменяться от $0^\circ$ (нормальное падение) до $90^\circ$ (скользящее падение).

Если $\alpha \t°90^\circ$ (максимальный угол падения), то $\sin(\alpha) \t°1$. В этом случае угол преломления $\beta$ будет максимальным:

$\sin(\beta_{max}) = \frac{\sin(90^\circ)}{1,5} = \frac{1}{1,5}$

Это означает, что $\beta_{max} = \arcsin\left(\frac{1}{1,5}\right) = \alpha_{пр} \approx 41,8^\circ$.

При этом угол падения на боковую грань $\gamma$ будет минимальным:

$\gamma_{min} = 90^\circ - \beta_{max} = 90^\circ - 41,8^\circ = 48,2^\circ$

Если $\alpha = 0^\circ$ (минимальный угол падения), то $\sin(\alpha) = 0$, следовательно $\beta = 0^\circ$. В этом случае угол падения на боковую грань $\gamma$ будет максимальным:

$\gamma_{max} = 90^\circ - 0^\circ = 90^\circ$

Таким образом, угол падения луча на боковую грань $\gamma$ находится в диапазоне от $48,2^\circ$ до $90^\circ$.

5. Сравним наименьший возможный угол падения на боковую грань $\gamma_{min}$ с предельным углом $\alpha_{пр}$:

$\gamma_{min} \approx 48,2^\circ$

$\alpha_{пр} \approx 41,8^\circ$

Поскольку $\gamma_{min} > \alpha_{пр}$, любой луч, вошедший в куб через верхнюю грань, падает на боковую грань под углом, большим предельного угла полного внутреннего отражения. Следовательно, все лучи будут испытывать полное внутреннее отражение от боковых граней и не смогут выйти наружу через них.

Ответ: Нет, лучи не будут выходить через боковые грани куба, так как для любого луча из пучка будет наблюдаться явление полного внутреннего отражения.