Номер 888, страница 124, часть 1 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Парфентьева

Часть 1. 11 класс. Оптика. Световые волны. Скорость света. Законы отражения и преломления света - номер 888, страница 124.

Условие.

888. [728] Тело в форме конуса с углом $60^\circ$ между его осью и образующей погрузили целиком в прозрачную жидкость вершиной вниз. При этом боковую поверхность конуса нельзя видеть ни из какой точки пространства над поверхностью жидкости. Чему равен показатель преломления жидкости?

Решение.

Дано:

Угол между осью конуса и его образующей: $α = 60°$

Показатель преломления воздуха: $n_{возд} ≈ 1$

Найти:

Показатель преломления жидкости $\text{n}$

Решение:

Условие, что боковую поверхность конуса нельзя видеть из пространства над жидкостью, означает, что любой луч света, исходящий от поверхности конуса, испытывает полное внутреннее отражение на границе раздела жидкость-воздух.

Полное внутреннее отражение происходит, когда угол падения луча $θ$ на границу раздела двух сред больше или равен критическому углу $θ_c$. То есть, должно выполняться условие $θ ≥ θ_c$.

Критический угол определяется по закону Снеллиуса для преломления света из жидкости (с показателем преломления $\text{n}$) в воздух (с показателем преломления $n_{возд} ≈ 1$):

$n \cdot \sin(θ_c) = n_{возд} \cdot \sin(90°)$

Поскольку $n_{возд} = 1$ и $\sin(90°) = 1$, получаем:

$\sin(θ_c) = \frac{1}{n}$

Рассмотрим лучи, исходящие от боковой поверхности конуса. Угол падения луча на горизонтальную поверхность жидкости равен углу между этим лучом и вертикалью (осью конуса). Чтобы поверхность конуса была невидима, даже луч с наименьшим возможным углом падения должен испытать полное внутреннее отражение. Наименьший угол падения будут иметь лучи, распространяющиеся вдоль образующей конуса. Для таких лучей угол падения на поверхность жидкости равен углу $α$ между образующей и осью конуса.

Следовательно, для невидимости конуса должно выполняться условие, что этот минимальный угол падения равен или больше критического угла:

$α ≥ θ_c$

В предельном случае, когда конус только-только становится невидимым, $α = θ_c$.

Подставляя это в формулу для критического угла, получаем:

$\sin(α) = \sin(θ_c) = \frac{1}{n}$

Отсюда можем выразить искомый показатель преломления жидкости:

$n = \frac{1}{\sin(α)}$

Подставим данное значение угла $α = 60°$:

$n = \frac{1}{\sin(60°)} = \frac{1}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{2}{\sqrt{3}}$

Избавившись от иррациональности в знаменателе, получим:

$n = \frac{2\sqrt{3}}{3} ≈ 1,155$

Ответ: Показатель преломления жидкости равен $n = \frac{2}{\sqrt{3}} ≈ 1,155$.