Номер 887, страница 123, часть 1 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Парфентьева

Часть 1. 11 класс. Оптика. Световые волны. Скорость света. Законы отражения и преломления света - номер 887, страница 123.

Условие.

887. [727] Плоскопараллельная пластинка составлена из двух треугольных призм с разными показателями преломления, причём $n_2 < n_1$. Свет падает на боковую грань перпендикулярно ребру $\text{AB}$ (рис. 191). При каком угле $\alpha$ свет не пройдёт через границу раздела $\text{BD}$?

Рис. 191

Решение.

Дано:

Плоскопареллельная пластинка из двух призм.

Показатели преломления: $n_1$ и $n_2$.

Условие: $n_2 < n_1$.

Угол при вершине B: $\alpha$.

Свет падает перпендикулярно на грань, содержащую ребро AB.

Найти:

Условие для угла $\alpha$, при котором свет не пройдет через границу раздела BD.

Решение:

Свет падает на боковую грань пластинки перпендикулярно. Это означает, что угол падения на эту грань равен $0^\circ$. Согласно закону преломления света, угол преломления также равен $0^\circ$. Таким образом, световой луч входит в первую призму (с показателем преломления $n_1$) без изменения своего направления и распространяется прямолинейно до границы раздела двух сред BD.

На границе раздела BD свет пытается перейти из среды с показателем преломления $n_1$ в среду с показателем преломления $n_2$. По условию задачи $n_1 > n_2$, то есть свет переходит из оптически более плотной среды в оптически менее плотную. В таких условиях может наблюдаться явление полного внутреннего отражения. Свет не пройдет через границу раздела, если произойдет полное внутреннее отражение.

Условием полного внутреннего отражения является то, что угол падения луча на границу раздела, который мы обозначим $\beta$, должен быть больше или равен предельному углу полного внутреннего отражения $\beta_{пр}$:

$\beta \ge \beta_{пр}$

Предельный угол полного внутреннего отражения находится из закона преломления Снеллиуса, когда угол преломления равен $90^\circ$:

$n_1 \sin \beta_{пр} = n_2 \sin 90^\circ$

Отсюда получаем:

$\sin \beta_{пр} = \frac{n_2}{n_1}$

Теперь найдем угол падения $\beta$ луча на границу раздела BD. Угол падения — это угол между падающим лучом и нормалью к поверхности раздела в точке падения. Из геометрии рисунка видно, что падающий луч параллелен стороне AD прямоугольника ABCD.

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABD (угол A равен $90^\circ$). Угол $\angle ABD = \alpha$. Угол между падающим лучом (параллельным AD) и границей раздела BD равен углу $\angle BDA$. Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна $90^\circ$, поэтому:

$\angle BDA = 90^\circ - \angle ABD = 90^\circ - \alpha$

Нормаль к границе BD перпендикулярна этой границе. Угол падения $\beta$ — это угол между лучом и нормалью. Он дополняет угол между лучом и границей раздела до $90^\circ$:

$\beta = 90^\circ - \angle BDA = 90^\circ - (90^\circ - \alpha) = \alpha$

Следовательно, угол падения луча на границу раздела BD равен углу $\alpha$.

Подставим это в условие полного внутреннего отражения $\beta \ge \beta_{пр}$:

$\alpha \ge \beta_{пр}$

Поскольку угол $\alpha$ является острым углом в прямоугольном треугольнике (от $0^\circ$ до $90^\circ$), а функция синуса на этом интервале возрастает, то из неравенства для углов следует аналогичное неравенство для их синусов:

$\sin \alpha \ge \sin \beta_{пр}$

Заменив $\sin \beta_{пр}$ на его выражение через показатели преломления, получим окончательное условие, при котором свет не пройдет через границу раздела BD:

$\sin \alpha \ge \frac{n_2}{n_1}$

Ответ: Свет не пройдет через границу раздела BD при выполнении условия $\sin \alpha \ge \frac{n_2}{n_1}$.