Номер 890, страница 124, часть 1 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Парфентьева

Часть 1. 11 класс. Оптика. Световые волны. Скорость света. Законы отражения и преломления света - номер 890, страница 124.

Условие.

890. [730] На дне наполненного водой цилиндрического сосуда с радиусом основания 10 см и высотой 0,6 м находится точечный источник света. Стенки сосуда непрозрачны. Радиус светлого пятна на горизонтальном экране, находящемся сверху сосуда на расстоянии 1 м от его дна, равен 0,18 м. Показатель преломления воды 1,33. Определите уровень воды в сосуде.

Решение.

Дано:

Радиус основания сосуда, $r = 10 \text{ см}$

Высота сосуда, $H_{сосуда} = 0,6 \text{ м}$

Расстояние от дна сосуда до экрана, $H = 1 \text{ м}$

Радиус светлого пятна на экране, $R = 0,18 \text{ м}$

Показатель преломления воды, $n = 1,33$

Показатель преломления воздуха, $n_{воздуха} \approx 1$

Перевод в систему СИ:

$r = 10 \text{ см} = 0,1 \text{ м}$

Найти:

Уровень воды в сосуде, $\text{h}$

Решение:

Свет от точечного источника на дне сосуда распространяется в воде и, выходя на границу раздела вода-воздух, преломляется. Поскольку стенки сосуда непрозрачны, размер светлого пятна на экране определяется крайними лучами, которые проходят от источника через край водной поверхности у стенок сосуда.

Пусть $\text{h}$ - искомый уровень воды. Рассмотрим луч, идущий от источника света (расположенного в центре дна) к краю поверхности воды. Угол падения этого луча $\alpha$ (угол между лучом и нормалью к поверхности) можно найти из геометрии. В прямоугольном треугольнике, образованном высотой воды $\text{h}$ и радиусом сосуда $\text{r}$, тангенс угла падения равен:

$\tan \alpha = \frac{r}{h}$

После преломления на границе вода-воздух луч выходит в воздух под углом преломления $\beta$. Согласно закону Снеллиуса:

$n \sin \alpha = n_{воздуха} \sin \beta$

Принимая $n_{воздуха} = 1$, получаем:

$n \sin \alpha = \sin \beta$

Пройдя через воздух расстояние по вертикали, равное $H-h$, преломленный луч попадает на экран, образуя светлое пятно радиусом $\text{R}$. Из геометрии хода луча в воздухе видно, что он смещается по горизонтали на расстояние $R-r$. Таким образом, тангенс угла преломления равен:

$\tan \beta = \frac{R-r}{H-h}$

Мы имеем систему уравнений. Для ее решения выразим синусы через тангенсы, используя тригонометрическое тождество $\sin x = \frac{\tan x}{\sqrt{1+\tan^2 x}}$.

$\sin \alpha = \frac{r/h}{\sqrt{1+(r/h)^2}} = \frac{r}{\sqrt{h^2+r^2}}$

$\sin \beta = \frac{(R-r)/(H-h)}{\sqrt{1+((R-r)/(H-h))^2}} = \frac{R-r}{\sqrt{(H-h)^2+(R-r)^2}}$

Подставим эти выражения в закон Снеллиуса:

$n \frac{r}{\sqrt{h^2+r^2}} = \frac{R-r}{\sqrt{(H-h)^2+(R-r)^2}}$

Возведем обе части уравнения в квадрат:

$n^2 \frac{r^2}{h^2+r^2} = \frac{(R-r)^2}{(H-h)^2+(R-r)^2}$

Подставим числовые значения:

$r = 0,1 \text{ м}$

$R = 0,18 \text{ м}$

$H = 1 \text{ м}$

$n = 1,33$

$R-r = 0,18 - 0,1 = 0,08 \text{ м}$

$n^2 = 1,33^2 = 1,7689$

$1,7689 \frac{0,1^2}{h^2+0,1^2} = \frac{0,08^2}{(1-h)^2+0,08^2}$

$\frac{1,7689 \cdot 0,01}{h^2+0,01} = \frac{0,0064}{(1-h)^2+0,0064}$

$\frac{0,017689}{h^2+0,01} = \frac{0,0064}{1-2h+h^2+0,0064}$

$\frac{0,017689}{h^2+0,01} = \frac{0,0064}{h^2-2h+1,0064}$

Выполним перекрестное умножение:

$0,017689(h^2-2h+1,0064) = 0,0064(h^2+0,01)$

$0,017689h^2 - 0,035378h + 0,01780 \approx 0,0064h^2 + 0,000064$

Приведем подобные члены, чтобы получить квадратное уравнение вида $Ah^2+Bh+C=0$:

$(0,017689 - 0,0064)h^2 - 0,035378h + (0,01780 - 0,000064) = 0$

$0,011289h^2 - 0,035378h + 0,017736 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Дискриминант $D = B^2 - 4AC$:

$D = (-0,035378)^2 - 4 \cdot 0,011289 \cdot 0,017736 \approx 0,0012516 - 0,0007999 \approx 0,0004517$

$\sqrt{D} \approx \sqrt{0,0004517} \approx 0,02125$

Найдем корни уравнения:

$h = \frac{-B \pm \sqrt{D}}{2A} = \frac{0,035378 \pm 0,02125}{2 \cdot 0,011289} = \frac{0,035378 \pm 0,02125}{0,022578}$

$h_1 = \frac{0,035378 + 0,02125}{0,022578} = \frac{0,056628}{0,022578} \approx 2,51 \text{ м}$

$h_2 = \frac{0,035378 - 0,02125}{0,022578} = \frac{0,014128}{0,022578} \approx 0,626 \text{ м}$

Корень $h_1 \approx 2,51 \text{ м}$ является нефизичным, так как уровень воды не может превышать высоту экрана $H=1$ м.

Физически осмысленным является второй корень $h_2 \approx 0,626 \text{ м}$. Данное значение немного превышает указанную высоту сосуда (0,6 м), что, вероятно, связано с небольшой погрешностью в исходных данных задачи. Однако, это единственное физически возможное решение, исходя из предоставленных параметров.

Ответ: уровень воды в сосуде составляет приблизительно $0,63 \text{ м}$.