Номер 894, страница 124, часть 1 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Парфентьева

Часть 1. 11 класс. Оптика. Световые волны. Скорость света. Законы отражения и преломления света - номер 894, страница 124.

Условие.

894. [734] Каким должен быть угол у основания Рис. 192 равнобедренной стеклянной призмы, чтобы луч, пройдя через основание и отразившись от боковых поверхностей, остался параллелен самому себе?

Решение.

Решение

Рассмотрим сечение равнобедренной стеклянной призмы. Оно представляет собой равнобедренный треугольник. Обозначим углы при основании призмы через $\alpha$. Луч света, согласно условию, входит через основание, испытывает два отражения от боковых поверхностей и выходит обратно через основание. Чтобы вышедший луч был параллелен вошедшему, он должен быть направлен в противоположную сторону. Это означает, что после двух отражений направление луча внутри призмы должно измениться на $180^\circ$.

Проанализируем изменение направления луча после двух отражений от боковых граней. Угол между боковыми гранями призмы (преломляющий угол) равен $\theta = 180^\circ - 2\alpha$.

Можно показать, что при последовательном отражении от двух плоских зеркал, расположенных под углом $\phi$ друг к другу, луч поворачивается на угол $2\phi$, независимо от угла падения (при условии, что луч отражается от обеих поверхностей). В нашем случае роль зеркал играют боковые грани призмы, а отражение происходит за счет полного внутреннего отражения. Угол между боковыми гранями равен $\theta$.

Чтобы луч после двух отражений был направлен в противоположную сторону (развернулся на $180^\circ$), суммарный угол поворота должен быть равен $180^\circ$. Таким образом, должно выполняться условие:

$2\theta = 180^\circ$

Подставим выражение для преломляющего угла $\theta$:

$2(180^\circ - 2\alpha) = 180^\circ$

$360^\circ - 4\alpha = 180^\circ$

$4\alpha = 360^\circ - 180^\circ$

$4\alpha = 180^\circ$

$\alpha = \frac{180^\circ}{4} = 45^\circ$

Таким образом, угол при основании призмы должен быть равен $45^\circ$. В этом случае сечение призмы представляет собой прямоугольный равнобедренный треугольник. Такие призмы используются в качестве световозвращателей (например, в призмах Порро).

Для того чтобы на боковых гранях происходило полное внутреннее отражение, показатель преломления стекла $\text{n}$ должен быть достаточно большим. Для луча, входящего перпендикулярно основанию, необходимо, чтобы угол падения на боковую грань, равный $45^\circ$, был больше или равен критическому углу полного внутреннего отражения. Это приводит к условию $n \cdot \sin(45^\circ) \ge 1$, то есть $n \ge \sqrt{2} \approx 1.414$. Это условие выполняется для большинства типов оптического стекла.

Ответ: Угол у основания равнобедренной стеклянной призмы должен быть равен $45^\circ$.