Номер 901, страница 125, часть 1 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Парфентьева

Часть 1. 11 класс. Оптика. Световые волны. Линза - номер 901, страница 125.

Условие.

901. [741] Расстояние между двумя источниками света 24 см. На каком расстоянии от источников следует поставить собирающую линзу с фокусным расстоянием 9 см, чтобы изображения обоих источников оказались в одной точке?

Решение.

Дано:

Расстояние между источниками $L = 24$ см

Фокусное расстояние линзы $F = 9$ см

L = 0.24 м
F = 0.09 м

Найти:

На каком расстоянии от источников нужно поставить линзу.

Решение:

Для того чтобы изображения обоих источников оказались в одной точке, необходимо, чтобы линза находилась между источниками. Обозначим источники как S₁ и S₂. Пусть расстояние от линзы до источника S₁ равно $d_1$, а до источника S₂ равно $d_2$. Тогда $d_1 + d_2 = L = 24$ см.

Изображения источников должны оказаться в одной точке. Это возможно, если изображение одного источника является действительным, а другого — мнимым, и они формируются на одинаковом расстоянии от линзы и с одной стороны от нее.

Пусть источник S₁, находящийся на расстоянии $d_1$, создает действительное изображение I₁. Это изображение будет находиться с противоположной стороны от линзы на расстоянии $f_1$. Для этого необходимо, чтобы $d_1 > F$.

Пусть источник S₂, находящийся на расстоянии $d_2$, создает мнимое изображение I₂. Это изображение будет находиться с той же стороны от линзы, что и сам источник S₂, на расстоянии $f_2$ (величина $f_2$ будет отрицательной). Для этого необходимо, чтобы $d_2 < F$.

Чтобы изображения I₁ и I₂ совпали, они должны находиться на одинаковом расстоянии от линзы. Если I₁ находится на расстоянии $\text{f}$ от линзы, то и I₂ должно находиться на расстоянии $\text{f}$ от линзы. То есть, $f_1 = |f_2| = f$, или с учетом знака $f_1 = -f_2$.

Запишем формулу тонкой линзы для каждого случая:

Для источника S₁ (действительное изображение):
$1/d_1 + 1/f_1 = 1/F$

Для источника S₂ (мнимое изображение):
$1/d_2 + 1/f_2 = 1/F$

Используем условие $f_1 = -f_2$, что эквивалентно $1/f_1 = -1/f_2$.

Из формул для линзы выразим $1/f_1$ и $1/f_2$:

$1/f_1 = 1/F - 1/d_1$

$1/f_2 = 1/F - 1/d_2$

Подставим в условие $1/f_1 = -1/f_2$:

$1/F - 1/d_1 = -(1/F - 1/d_2)$

$1/F - 1/d_1 = -1/F + 1/d_2$

$2/F = 1/d_1 + 1/d_2$

Теперь у нас есть система из двух уравнений:

$d_1 + d_2 = L$

$1/d_1 + 1/d_2 = 2/F$

Из первого уравнения выразим $d_2 = L - d_1$ и подставим во второе:

$1/d_1 + 1/(L - d_1) = 2/F$

Приведем к общему знаменателю:

$(L - d_1 + d_1) / (d_1(L - d_1)) = 2/F$

$L / (Ld_1 - d_1^2) = 2/F$

$LF = 2(Ld_1 - d_1^2)$

$2d_1^2 - 2Ld_1 + LF = 0$

Подставим числовые значения $L = 24$ см и $F = 9$ см:

$2d_1^2 - 2 \cdot 24 \cdot d_1 + 24 \cdot 9 = 0$

$2d_1^2 - 48d_1 + 216 = 0$

Разделим уравнение на 2:

$d_1^2 - 24d_1 + 108 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Найдем дискриминант:

$\Delta = b^2 - 4ac = (-24)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 108 = 576 - 432 = 144$

Найдем корни:

$d_1 = (24 + \sqrt{144}) / 2 = (24 + 12) / 2 = 36 / 2 = 18$ см

$d_1' = (24 - \sqrt{144}) / 2 = (24 - 12) / 2 = 12 / 2 = 6$ см

Получили два возможных значения для расстояния до одного из источников. Если $d_1 = 18$ см, то $d_2 = 24 - 18 = 6$ см. Если $d_1 = 6$ см, то $d_2 = 24 - 6 = 18$ см.

Оба варианта описывают одно и то же расположение: линза должна быть помещена на расстоянии 6 см от одного источника и 18 см от другого. Проверим выполнение условий $d_1 > F$ и $d_2 < F$. При $d_1=18$ см и $d_2=6$ см, условия $18 > 9$ и $6 < 9$ выполняются.

Ответ: Линзу следует поставить на расстоянии 6 см от одного из источников (и, соответственно, 18 см от другого).