Номер 903, страница 126, часть 1 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Парфентьева

Часть 1. 11 класс. Оптика. Световые волны. Линза - номер 903, страница 126.

Условие.

903. [743] Точечный источник света находится на расстоянии 40 см от собирающей линзы с фокусным расстоянием 30 см. На каком расстоянии от линзы нужно установить экран, чтобы светлое пятно на нём было диаметром 2 см? Диаметр линзы 4 см. (На экран попадает только свет, прошедший через линзу.)

Решение.

Дано:

Расстояние от источника до линзы $d = 40$ см

Фокусное расстояние линзы $F = 30$ см

Диаметр светлого пятна $D_{пятна} = 2$ см

Диаметр линзы $D_{линзы} = 4$ см

$d = 0.4$ м
$F = 0.3$ м
$D_{пятна} = 0.02$ м
$D_{линзы} = 0.04$ м

Найти:

Расстояние от линзы до экрана $\text{x}$ - ?

Решение:

Сначала найдем расстояние $\text{f}$ от линзы до изображения точечного источника света, которое формирует линза. Для этого воспользуемся формулой тонкой собирающей линзы:

$\frac{1}{d} + \frac{1}{f} = \frac{1}{F}$

Выразим из формулы расстояние до изображения $\text{f}$:

$\frac{1}{f} = \frac{1}{F} - \frac{1}{d}$

Подставим числовые значения в сантиметрах для удобства вычислений:

$\frac{1}{f} = \frac{1}{30} - \frac{1}{40} = \frac{4 - 3}{120} = \frac{1}{120}$ см⁻¹

Таким образом, изображение источника находится на расстоянии $f = 120$ см от линзы.

Поскольку на экране образуется светлое пятно, а не точка, экран расположен не в плоскости изображения. Лучи света, прошедшие через линзу, образуют сходящийся (до изображения) и расходящийся (после изображения) световой конус. Экран, установленный на расстоянии $\text{x}$ от линзы, пересекает этот конус, и на нем образуется светлое пятно.

Рассмотрим подобные треугольники, образованные ходом крайних лучей. Один треугольник образуется лучами, проходящими через края линзы и сходящимися в точке изображения. Его высота равна $\text{f}$, а половина основания — радиусу линзы $R_{линзы} = D_{линзы} / 2 = 4 / 2 = 2$ см.

Второй треугольник образуется теми же лучами, но его основание — это светлое пятно на экране. Его высота равна расстоянию от плоскости изображения до экрана, то есть $|f - x|$, а половина основания — радиусу пятна $R_{пятна} = D_{пятна} / 2 = 2 / 2 = 1$ см.

Из подобия этих треугольников следует соотношение:

$\frac{R_{пятна}}{R_{линзы}} = \frac{|f - x|}{f}$

Подставим известные значения:

$\frac{1}{2} = \frac{|120 - x|}{120}$

Отсюда получаем:

$|120 - x| = 120 \cdot \frac{1}{2} = 60$

Данное уравнение с модулем имеет два возможных решения, так как экран может быть расположен как до фокальной плоскости изображения, так и после нее.

1. Экран расположен до изображения ($x < f$):

$120 - x_1 = 60$

$x_1 = 120 - 60 = 60$ см.

2. Экран расположен после изображения ($x > f$):

$-(120 - x_2) = 60$

$x_2 - 120 = 60$

$x_2 = 120 + 60 = 180$ см.

Оба расстояния являются решением задачи.

Ответ: экран нужно установить на расстоянии 60 см или 180 см от линзы.