Номер 905, страница 126, часть 1 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Парфентьева

Часть 1. 11 класс. Оптика. Световые волны. Линза - номер 905, страница 126.

Условие.

905. [745] На поверхность тонкой собирающей линзы с фокусным расстоянием 10 см падает луч света на расстоянии 5 см от оптического центра под углом $5^\circ$ к её главной оптической оси (рис. 198). Под каким углом к главной оптической оси выходит луч из линзы?

Рис. 198

Решение.

Дано:

Тип линзы - тонкая собирающая

Фокусное расстояние, $F = 10$ см

Расстояние от оптического центра до точки падения луча, $h = 5$ см

Угол падения луча к главной оптической оси, $\alpha = 5^{\circ}$

Перевод в систему СИ:

$F = 0.1$ м

$h = 0.05$ м

Найти:

Угол $\beta$, под которым луч выходит из линзы к главной оптической оси.

Решение:

Для решения задачи введем систему координат. Пусть главная оптическая ось совпадает с осью $Ox$, а плоскость тонкой линзы — с осью $Oy$. Оптический центр линзы находится в начале координат $O(0, 0)$. Свет распространяется слева направо, в положительном направлении оси $Ox$.

Падающий луч попадает на линзу в точке $\text{P}$ с координатами $(0, h)$, где $h = 5$ см. Из рисунка следует, что луч наклонен вниз к оптической оси. Угол, который падающий луч составляет с положительным направлением оси $Ox$, обозначим $\theta_1$. Тогда $\theta_1 = -\alpha = -5^{\circ}$.

Воспользуемся свойством, что все параллельные лучи, падающие на собирающую линзу, после преломления собираются в одной точке в фокальной плоскости. Фокальная плоскость — это плоскость, перпендикулярная главной оптической оси и проходящая через задний фокус линзы.

Рассмотрим вспомогательный луч, который параллелен падающему лучу и проходит через оптический центр линзы $O(0, 0)$. Такой луч не меняет своего направления при прохождении через тонкую линзу. Его угол наклона к оси $Ox$ также равен $\theta_1 = -5^{\circ}$.

Найдем точку $S_f$, в которой этот вспомогательный луч пересекает заднюю фокальную плоскость. Координата фокальной плоскости $x_f = F$. Координату $y_f$ точки пересечения найдем из уравнения прямой для вспомогательного луча $y = x \cdot \tan(\theta_1)$:

$y_f = F \cdot \tan(\theta_1) = F \cdot \tan(-5^{\circ}) = -F \cdot \tan(5^{\circ})$

Так как исходный падающий луч параллелен вспомогательному, после преломления в линзе он также должен пройти через точку $S_f(F, -F \tan(5^{\circ}))$.

Таким образом, преломленный луч проходит через две точки: точку падения на линзу $P(0, h)$ и точку в фокальной плоскости $S_f$. Найдем тангенс угла наклона $\theta_2$ вышедшего луча к главной оптической оси. Он равен угловому коэффициенту прямой, проходящей через точки $\text{P}$ и $S_f$.

$\tan(\theta_2) = \frac{y_f - h}{x_f - 0} = \frac{-F \cdot \tan(5^{\circ}) - h}{F} = -\tan(5^{\circ}) - \frac{h}{F}$

Подставим известные значения в полученную формулу:

$F = 10$ см

$h = 5$ см

$\tan(5^{\circ}) \approx 0.0875$

$\tan(\theta_2) = -0.0875 - \frac{5 \text{ см}}{10 \text{ см}} = -0.0875 - 0.5 = -0.5875$

Теперь найдем сам угол $\theta_2$, который преломленный луч составляет с положительным направлением оси $Ox$:

$\theta_2 = \arctan(-0.5875) \approx -30.44^{\circ}$

Знак "минус" указывает, что луч после преломления также наклонен вниз к главной оптической оси. Угол к главной оптической оси $\beta$ — это абсолютное значение угла $\theta_2$.

$\beta = |\theta_2| \approx 30.44^{\circ}$

Округлив до одного знака после запятой, получаем $\beta \approx 30.4^{\circ}$.

Ответ:

Угол, под которым луч выходит из линзы к главной оптической оси, составляет примерно $30.4^{\circ}$.