Номер 908, страница 126, часть 1 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Парфентьева

Часть 1. 11 класс. Оптика. Световые волны. Линза - номер 908, страница 126.

Условие.

908. [748] На главной оптической оси тонкой собирающей линзы диаметром $\text{D}$ находится точечный источник света. Из линзы выходит пучок расходящихся лучей с углом расхождения $\alpha$. Определите угол расхождения лучей $\beta$ в случае рассеивающей линзы. Расстояние от источника света до оптического центра линзы равно $\text{d}$. Фокусные расстояния линз одинаковы.

Решение.

Дано:
Диаметр линзы: $\text{D}$
Расстояние от источника до линзы: $\text{d}$
Угол расхождения для собирающей линзы: $\alpha$
Модуль фокусного расстояния обеих линз одинаков: $|F_{соб}| = |F_{расс}| = F$

Все данные представлены в буквенном виде и не требуют перевода в систему СИ.

Найти:
Угол расхождения для рассеивающей линзы: $\beta$

Решение:
Рассмотрим оба случая, используя формулу тонкой линзы и приближение малых углов, так как углы расхождения обычно малы. В этом приближении $\tan\theta \approx \theta$. Угол расхождения пучка лучей определяется крайними лучами, проходящими через края линзы на расстоянии $D/2$ от оптической оси.

1. Собирающая линза.
Формула тонкой линзы для собирающей линзы ($F_1 = F > 0$):
$\frac{1}{d} + \frac{1}{f_1} = \frac{1}{F}$
где $\text{d}$ – расстояние от источника до линзы, $f_1$ – расстояние от линзы до изображения.
Поскольку из линзы выходит пучок расходящихся лучей, это означает, что изображение, формируемое линзой, является мнимым. Мнимое изображение для собирающей линзы получается, когда источник находится между фокусом и линзой ($d < F$). Расстояние до мнимого изображения $f_1$ будет отрицательным.
Выразим $1/f_1$:
$\frac{1}{f_1} = \frac{1}{F} - \frac{1}{d} = \frac{d - F}{dF}$
Расстояние до мнимого изображения равно $|f_1| = \frac{dF}{F-d}$.
Лучи после линзы выходят так, как будто они исходят из этого мнимого изображения. Угол расхождения $\alpha$ связан с диаметром линзы $\text{D}$ и расстоянием до мнимого изображения $|f_1|$. Для малых углов:
$\tan\left(\frac{\alpha}{2}\right) \approx \frac{\alpha}{2} = \frac{D/2}{|f_1|} = \frac{D/2}{\frac{dF}{F-d}} = \frac{D(F-d)}{2dF}$
Отсюда получаем выражение для полного угла $\alpha$:
$\alpha = \frac{D(F-d)}{dF} = \frac{D}{d} - \frac{D}{F}$
Из этого уравнения можно выразить величину, связанную с фокусным расстоянием линзы, которая будет одинаковой для обоих случаев:
$\frac{D}{F} = \frac{D}{d} - \alpha \quad (1)$

2. Рассеивающая линза.
Теперь заменим собирающую линзу на рассеивающую с таким же по модулю фокусным расстоянием. Для рассеивающей линзы фокусное расстояние отрицательно: $F_2 = -F$.
Формула тонкой линзы для этого случая:
$\frac{1}{d} + \frac{1}{f_2} = -\frac{1}{F}$
Рассеивающая линза всегда дает мнимое изображение действительного предмета, поэтому $f_2$ будет отрицательным.
$\frac{1}{f_2} = -\frac{1}{F} - \frac{1}{d} = -\frac{d+F}{dF}$
Расстояние до мнимого изображения: $|f_2| = \frac{dF}{d+F}$.
Аналогично первому случаю, найдем угол расхождения $\beta$:
$\tan\left(\frac{\beta}{2}\right) \approx \frac{\beta}{2} = \frac{D/2}{|f_2|} = \frac{D/2}{\frac{dF}{d+F}} = \frac{D(d+F)}{2dF}$
Выражение для полного угла $\beta$:
$\beta = \frac{D(d+F)}{dF} = \frac{D}{d} + \frac{D}{F} \quad (2)$

3. Итоговый расчет.
Подставим выражение (1) в выражение (2), чтобы исключить неизвестную величину $\text{F}$:
$\beta = \frac{D}{d} + \left(\frac{D}{d} - \alpha\right)$
$\beta = 2\frac{D}{d} - \alpha$

Ответ: Угол расхождения лучей в случае рассеивающей линзы равен $\beta = 2\frac{D}{d} - \alpha$.