Номер 911, страница 127, часть 1 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Парфентьева

Часть 1. 11 класс. Оптика. Световые волны. Линза - номер 911, страница 127.

Условие.

911. [751] Собирающая линза даёт на экране, перпендикулярном её главной оптической оси, чёткое изображениепредмета с увеличением 4. Линзу сдвигают перпендикулярно оптической оси на 1 мм. На сколько приэтом сместится изображение?

Решение.

Дано:
Увеличение линзы, $\Gamma = 4$
Смещение линзы, $\Delta y_л = 1 \text{ мм}$

$\Delta y_л = 1 \cdot 10^{-3} \text{ м}$

Найти:
Смещение изображения, $\Delta y_и - ?$

Решение:

Рассмотрим движение линзы и изображения в системе координат, где ось $Ox$ совпадает с первоначальной главной оптической осью линзы, а ось $Oy$ перпендикулярна ей и проходит через оптический центр линзы в его начальном положении $O(0, 0)$. Для простоты будем считать, что объект является точечным и расположен на главной оптической оси в точке $A(-d_o, 0)$, где $d_o$ — расстояние от объекта до линзы.

Изначально его четкое изображение $A_0$ также находится на главной оптической оси в точке $(d_i, 0)$, где $d_i$ — расстояние от линзы до изображения. Линейное увеличение линзы по определению равно $\Gamma = \frac{d_i}{d_o}$. По условию $\Gamma = 4$.

Затем линзу сдвигают перпендикулярно оптической оси на расстояние $\Delta y_л$. Новый оптический центр линзы $O'$ будет находиться в точке $(0, \Delta y_л)$. Положение объекта $A(-d_o, 0)$ и экрана, на котором формируется изображение (плоскость $x = d_i$), остаются неизменными.

Чтобы найти положение нового изображения $A'$, воспользуемся ходом одного из характерных лучей — луча, проходящего через оптический центр линзы. Такой луч не претерпевает преломления. Следовательно, новое изображение $A'$ должно лежать на прямой, проходящей через точку объекта $\text{A}$ и новый оптический центр линзы $O'$. Пусть координаты нового изображения $A'$ равны $(d_i, \Delta y_и)$, где $\Delta y_и$ — искомое смещение изображения.

Точки $A(-d_o, 0)$, $O'(0, \Delta y_л)$ и $A'(d_i, \Delta y_и)$ лежат на одной прямой. Можно рассмотреть два подобных прямоугольных треугольника, образованных этим лучом. Первый треугольник имеет катеты, равные $d_o$ (расстояние от объекта до плоскости линзы) и $\Delta y_л$ (смещение оптического центра относительно объекта). Второй треугольник имеет катеты $d_i$ (расстояние от линзы до изображения) и $(\Delta y_и - \Delta y_л)$ (смещение изображения относительно нового оптического центра).

Из подобия этих треугольников следует, что отношение их соответствующих катетов равно:$\frac{\Delta y_и - \Delta y_л}{\Delta y_л} = \frac{d_i}{d_o}$

Так как отношение $\frac{d_i}{d_o}$ является увеличением линзы $\Gamma$, получаем:$\frac{\Delta y_и - \Delta y_л}{\Delta y_л} = \Gamma$

Выразим отсюда искомое смещение изображения $\Delta y_и$:$\Delta y_и - \Delta y_л = \Gamma \cdot \Delta y_л$$\Delta y_и = \Gamma \cdot \Delta y_л + \Delta y_л = (\Gamma + 1) \Delta y_л$

Подставим числовые значения из условия задачи:$\Delta y_и = (4 + 1) \cdot 1 \text{ мм} = 5 \cdot 1 \text{ мм} = 5 \text{ мм}$

Ответ: изображение сместится на 5 мм.