Номер 912, страница 127, часть 1 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Парфентьева

Часть 1. 11 класс. Оптика. Световые волны. Линза - номер 912, страница 127.

Условие.

912. [752] Между собирающей линзой с фокусным расстоянием $\text{F}$ и точечным источником света устанавливают плоскопараллельную стеклянную пластинку толщиной $\text{d}$ с относительным показателем преломления стекла $\text{n}$. Источник находится на двойном фокусном расстоянии от линзы. На какое расстояние сместится изображение, если убрать пластинку?

Решение.

Дано:

Фокусное расстояние собирающей линзы: $\text{F}$

Толщина стеклянной пластинки: $\text{d}$

Относительный показатель преломления стекла: $\text{n}$

Расстояние от источника света до линзы: $u_{исх} = 2F$

Найти:

Смещение изображения $\Delta v$ при удалении пластинки.

Решение:

Рассмотрим два случая: с пластинкой и без нее.

1. Положение изображения без пластинки.

Когда пластинки нет, расстояние от точечного источника до линзы равно $u_2 = 2F$. Воспользуемся формулой тонкой линзы для нахождения расстояния от линзы до изображения $v_2$:

$\frac{1}{F} = \frac{1}{u_2} + \frac{1}{v_2}$

Подставим $u_2 = 2F$:

$\frac{1}{v_2} = \frac{1}{F} - \frac{1}{2F} = \frac{2-1}{2F} = \frac{1}{2F}$

Отсюда, $v_2 = 2F$. Изображение находится на двойном фокусном расстоянии по другую сторону от линзы.

2. Положение изображения с пластинкой.

Плоскопараллельная стеклянная пластинка, помещенная между предметом и линзой, изменяет ход лучей. Для линзы источник света будет казаться расположенным ближе, чем он есть на самом деле. Это происходит из-за преломления света на границах пластинки. Кажущееся смещение источника в сторону линзы составляет:

$\Delta u = d \cdot (1 - \frac{1}{n})$

Таким образом, эффективное расстояние от кажущегося источника света до линзы будет:

$u_1 = u_{исх} - \Delta u = 2F - d \cdot (1 - \frac{1}{n})$

Теперь найдем положение изображения $v_1$ в этом случае, снова используя формулу тонкой линзы:

$\frac{1}{F} = \frac{1}{u_1} + \frac{1}{v_1}$

$\frac{1}{v_1} = \frac{1}{F} - \frac{1}{u_1} = \frac{1}{F} - \frac{1}{2F - d(1 - \frac{1}{n})}$

Приведем к общему знаменателю:

$\frac{1}{v_1} = \frac{2F - d(1 - \frac{1}{n}) - F}{F \cdot (2F - d(1 - \frac{1}{n}))} = \frac{F - d(1 - \frac{1}{n})}{F \cdot (2F - d(1 - \frac{1}{n}))}$

Отсюда, расстояние до изображения с пластинкой:

$v_1 = \frac{F \cdot (2F - d(1 - \frac{1}{n}))}{F - d(1 - \frac{1}{n})}$

3. Смещение изображения.

Смещение изображения при удалении пластинки равно разности положений изображения с пластинкой и без нее: $\Delta v = |v_1 - v_2|$.

Так как $n > 1$, то $d(1 - \frac{1}{n}) > 0$, следовательно $u_1 < u_2$. Для собирающей линзы (при $u > F$) уменьшение расстояния до предмета ведет к увеличению расстояния до изображения, поэтому $v_1 > v_2$.

$\Delta v = v_1 - v_2 = \frac{F(2F - d(1 - \frac{1}{n}))}{F - d(1 - \frac{1}{n})} - 2F$

Приведем к общему знаменателю:

$\Delta v = \frac{2F^2 - Fd(1 - \frac{1}{n}) - 2F(F - d(1 - \frac{1}{n}))}{F - d(1 - \frac{1}{n})}$

$\Delta v = \frac{2F^2 - Fd(1 - \frac{1}{n}) - 2F^2 + 2Fd(1 - \frac{1}{n})}{F - d(1 - \frac{1}{n})}$

$\Delta v = \frac{Fd(1 - \frac{1}{n})}{F - d(1 - \frac{1}{n})}$

Это и есть искомое расстояние, на которое сместится изображение. При удалении пластинки изображение сместится к линзе.

Ответ: Изображение сместится на расстояние $\Delta v = \frac{Fd(1 - \frac{1}{n})}{F - d(1 - \frac{1}{n})}$.