Номер 907, страница 126, часть 1 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Парфентьева

Часть 1. 11 класс. Оптика. Световые волны. Линза - номер 907, страница 126.

Условие.

907. [747] Вдоль главной оптической оси собирающей линзы с фокусным расстоянием 5 см ползёт жук со скоростью 1 м/мин. С какой скоростью надо начать перемещать экран в момент времени, когда расстояние от жука до линзы равно $\text{3F}$, чтобы на нём всё время было чёткое изображение жука?

Решение.

Дано:

$F = 5$ см

$v_{жука} = 1$ м/мин

$d_0 = 3F$

В системе СИ:

$F = 0.05$ м

$v_{жука} = 1/60$ м/с

$d_0 = 3 \cdot 0.05 = 0.15$ м

Найти:

$v_{экрана}$ - скорость перемещения экрана.

Решение:

Связь между расстоянием от предмета до линзы $\text{d}$, расстоянием от линзы до изображения $\text{f}$ и фокусным расстоянием $\text{F}$ для тонкой собирающей линзы описывается формулой:

$$ \frac{1}{F} = \frac{1}{d} + \frac{1}{f} $$

Поскольку жук движется вдоль главной оптической оси, расстояние $\text{d}$ от него до линзы является функцией времени $d(t)$. Для получения чёткого изображения необходимо перемещать экран, поэтому расстояние от линзы до изображения $\text{f}$ также является функцией времени $f(t)$.

Скорости движения жука и экрана — это производные от расстояний по времени: $v_{жука} = |\frac{dd}{dt}|$ и $v_{экрана} = |\frac{df}{dt}|$.

Чтобы найти связь между скоростями, продифференцируем формулу тонкой линзы по времени $\text{t}$, помня, что фокусное расстояние $\text{F}$ является постоянной величиной:

$$ \frac{d}{dt} \left( \frac{1}{F} \right) = \frac{d}{dt} \left( \frac{1}{d} \right) + \frac{d}{dt} \left( \frac{1}{f} \right) $$

$$ 0 = -\frac{1}{d^2} \frac{dd}{dt} - \frac{1}{f^2} \frac{df}{dt} $$

Из этого уравнения выразим производную $\frac{df}{dt}$:

$$ \frac{1}{f^2} \frac{df}{dt} = -\frac{1}{d^2} \frac{dd}{dt} $$

$$ \frac{df}{dt} = - \left( \frac{f}{d} \right)^2 \frac{dd}{dt} $$

Переходя к модулям (скоростям), получаем:

$$ v_{экрана} = \left| \frac{df}{dt} \right| = \left( \frac{f}{d} \right)^2 \left| \frac{dd}{dt} \right| = \left( \frac{f}{d} \right)^2 v_{жука} $$

Теперь определим расстояние до изображения $\text{f}$ в тот момент, когда расстояние от жука до линзы $d_0 = 3F$. Для этого воспользуемся исходной формулой тонкой линзы:

$$ \frac{1}{F} = \frac{1}{3F} + \frac{1}{f} $$

$$ \frac{1}{f} = \frac{1}{F} - \frac{1}{3F} = \frac{3 - 1}{3F} = \frac{2}{3F} $$

Отсюда находим $\text{f}$:

$$ f = \frac{3F}{2} = 1.5F $$

Теперь мы можем вычислить скорость экрана в интересующий нас момент времени, подставив значения $d = 3F$ и $f = 1.5F$ в выведенную нами формулу для скоростей:

$$ v_{экрана} = \left( \frac{1.5F}{3F} \right)^2 v_{жука} = \left( \frac{1}{2} \right)^2 v_{жука} = \frac{1}{4} v_{жука} $$

Подставим числовое значение скорости жука:

$$ v_{экрана} = \frac{1}{4} \cdot 1 \text{ м/мин} = 0.25 \text{ м/мин} $$

Ответ: скорость, с которой надо начать перемещать экран, равна $0.25$ м/мин.