Номер 904, страница 126, часть 1 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Парфентьева

Часть 1. 11 класс. Оптика. Световые волны. Линза - номер 904, страница 126.

Условие.

904. [744] Определите минимальное расстояние между источником света и его действительным изображением, полученным с помощью тонкой собирающей линзы с фокусом $\text{F}$.

Решение.

Дано:

Тонкая собирающая линза

Фокусное расстояние: $\text{F}$

Изображение действительное

Найти:

$L_{min}$ — минимальное расстояние между источником и его действительным изображением.

Решение:

Обозначим расстояние от источника света до линзы как $\text{d}$, а расстояние от линзы до действительного изображения как $\text{f}$. Поскольку изображение действительное, оно формируется лучами, которые действительно пересекаются, и для собирающей линзы оно находится с противоположной стороны от источника. Таким образом, расстояние $\text{L}$ между источником и изображением равно сумме этих расстояний:

$L = d + f$

Связь между расстоянием до объекта, расстоянием до изображения и фокусным расстоянием для тонкой линзы описывается формулой:

$\frac{1}{d} + \frac{1}{f} = \frac{1}{F}$

Приведем левую часть к общему знаменателю:

$\frac{d+f}{df} = \frac{1}{F}$

Подставим $L = d+f$ в это уравнение:

$\frac{L}{df} = \frac{1}{F} \implies df = LF$

Таким образом, мы получили систему из двух уравнений относительно $\text{d}$ и $\text{f}$:

$d+f = L$

$df = LF$

Согласно обратной теореме Виета, величины $\text{d}$ и $\text{f}$ являются корнями квадратного уравнения $x^2 - (d+f)x + df = 0$. Подставив наши выражения, получим:

$x^2 - Lx + LF = 0$

Для того чтобы это уравнение имело действительные решения (поскольку $\text{d}$ и $\text{f}$ — это реальные физические расстояния), его дискриминант $\text{D}$ должен быть неотрицательным ($D \ge 0$):

$D = (-L)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (LF) \ge 0$

$L^2 - 4LF \ge 0$

Так как расстояние $\text{L}$ не может быть равно нулю ($L > 0$), мы можем разделить неравенство на $\text{L}$ без изменения знака:

$L - 4F \ge 0$

$L \ge 4F$

Это неравенство показывает, что минимально возможное расстояние между источником и его действительным изображением составляет $4F$.

Этот минимум достигается, когда дискриминант равен нулю ($D=0$), что соответствует случаю, когда корни уравнения равны, т.е. $d=f$. Если подставить $d=f$ в исходную формулу тонкой линзы:

$\frac{1}{d} + \frac{1}{d} = \frac{1}{F} \implies \frac{2}{d} = \frac{1}{F} \implies d = 2F$

Следовательно, $f = d = 2F$. Тогда минимальное расстояние $L_{min}$ будет:

$L_{min} = d + f = 2F + 2F = 4F$

Ответ: Минимальное расстояние между источником света и его действительным изображением равно $4F$.