Номер 902, страница 126, часть 1 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Парфентьева

Часть 1. 11 класс. Оптика. Световые волны. Линза - номер 902, страница 126.

Условие.

902. [742] Собирающая линза с фокусным расстоянием $F = 6 \text{ см}$ даёт изображение, размер которого в 2 раза больше размера предмета. На каком расстоянии от этой линзы надо поставить другую линзу с таким же фокусным расстоянием $\text{F}$, чтобы размеры предмета и изображения, полученного с помощью двух линз, были одинаковыми?

Решение.

Дано:
Фокусное расстояние собирающих линз, $F = 6$ см
Линейное увеличение первой линзы, $|\Gamma_1| = 2$
Линейное увеличение системы из двух линз, $|\Gamma_{общ}| = 1$

$F = 0,06$ м

Найти:

Расстояние между линзами, $\text{L}$ - ?

Решение:

Для решения задачи воспользуемся формулой тонкой линзы $\frac{1}{d} + \frac{1}{f} = \frac{1}{F}$ и формулой линейного увеличения $\Gamma = -\frac{f}{d}$, где $\text{d}$ — расстояние от предмета до линзы, $\text{f}$ — расстояние от линзы до изображения, $\text{F}$ — фокусное расстояние.

Условие, что первая линза даёт изображение в 2 раза больше предмета ($|\Gamma_1| = 2$), допускает два случая.

Случай 1: Первая линза создает действительное, перевернутое изображение.

В этом случае увеличение первой линзы отрицательно: $\Gamma_1 = -2$.
Из формулы увеличения: $\Gamma_1 = -\frac{f_1}{d_1} \implies -2 = -\frac{f_1}{d_1} \implies f_1 = 2d_1$.
Подставим это в формулу тонкой линзы для первой линзы с $F_1 = F = 6$ см:
$\frac{1}{d_1} + \frac{1}{2d_1} = \frac{1}{F} \implies \frac{3}{2d_1} = \frac{1}{6} \implies 2d_1 = 18 \implies d_1 = 9$ см.
Расстояние до изображения от первой линзы: $f_1 = 2d_1 = 18$ см. Изображение действительное ($f_1 > 0$).

Случай 2: Первая линза создает мнимое, прямое изображение.

В этом случае увеличение первой линзы положительно: $\Gamma_1 = +2$.
Из формулы увеличения: $\Gamma_1 = -\frac{f_1}{d_1} \implies 2 = -\frac{f_1}{d_1} \implies f_1 = -2d_1$.
Подставим в формулу тонкой линзы: $\frac{1}{d_1} + \frac{1}{-2d_1} = \frac{1}{F} \implies \frac{1}{2d_1} = \frac{1}{6} \implies 2d_1 = 6 \implies d_1 = 3$ см.
Расстояние до изображения от первой линзы: $f_1 = -2d_1 = -6$ см. Изображение мнимое ($f_1 < 0$).

Теперь рассмотрим систему из двух линз. Общее увеличение $\Gamma_{общ} = \Gamma_1 \cdot \Gamma_2$. По условию, размеры предмета и конечного изображения равны, значит $|\Gamma_{общ}| = 1$.
Так как $|\Gamma_1| = 2$, то увеличение второй линзы должно быть $|\Gamma_2| = \frac{|\Gamma_{общ}|}{|\Gamma_1|} = \frac{1}{2}$.

Для второй линзы ($F_2 = F = 6$ см) найдем, при каком расстоянии $d_2$ до предмета достигается увеличение $|\Gamma_2| = 1/2$.

а) Вторая линза дает действительное изображение (увеличение $\Gamma_2 = -1/2$).
$\Gamma_2 = -\frac{f_2}{d_2} \implies -1/2 = -\frac{f_2}{d_2} \implies f_2 = \frac{d_2}{2}$.
Подставляем в формулу линзы: $\frac{1}{d_2} + \frac{1}{d_2/2} = \frac{1}{F} \implies \frac{3}{d_2} = \frac{1}{6} \implies d_2 = 18$ см.

б) Вторая линза дает мнимое изображение (увеличение $\Gamma_2 = +1/2$).
$\Gamma_2 = -\frac{f_2}{d_2} \implies 1/2 = -\frac{f_2}{d_2} \implies f_2 = -\frac{d_2}{2}$.
Подставляем в формулу линзы: $\frac{1}{d_2} + \frac{1}{-d_2/2} = \frac{1}{F} \implies -\frac{1}{d_2} = \frac{1}{6} \implies d_2 = -6$ см.

Изображение от первой линзы ($f_1$) является предметом для второй ($d_2$). Связь между ними: $d_2 = L - f_1$, где $\text{L}$ - расстояние между линзами. Найдем $\text{L}$ для каждой комбинации случаев.

1. Первая линза дает действительное изображение ($f_1 = 18$ см).
Если вторая линза также дает действительное изображение ($d_2 = 18$ см), то $18 = L - 18 \implies L = 36$ см.
Если вторая линза дает мнимое изображение ($d_2 = -6$ см), то $-6 = L - 18 \implies L = 12$ см. (Предмет для второй линзы мнимый).

2. Первая линза дает мнимое изображение ($f_1 = -6$ см).
Если вторая линза дает действительное изображение ($d_2 = 18$ см), то $18 = L - (-6) \implies 18 = L + 6 \implies L = 12$ см.
Случай, когда $d_2 = -6$ см, дает $L = -12$ см, что физически невозможно.

Таким образом, существуют два возможных расстояния между линзами.

Ответ: Вторую линзу надо поставить на расстоянии 12 см или 36 см от первой.