Номер 889, страница 124, часть 1 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Парфентьева

Часть 1. 11 класс. Оптика. Световые волны. Скорость света. Законы отражения и преломления света - номер 889, страница 124.

Условие.

889. [729] На дне широкого сосуда высотой 15 см, полностью наполненного водой, установлен точечный источник света. Определите наименьший радиус непрозрачной круглой пластины, которую нужно поместить на поверхности воды, чтобы свет из воды не выходил. Показатель преломления воды 1,3.

Решение.

Дано:
Высота сосуда (глубина воды), $h = 15$ см = $0,15$ м
Показатель преломления воды, $n = 1,3$
Показатель преломления воздуха, $n_{возд} \approx 1$

Найти:
Наименьший радиус пластины $\text{R}$.

Решение:
Свет от точечного источника, расположенного на дне сосуда, распространяется во все стороны. Чтобы свет не выходил из воды в воздух, его нужно заблокировать на поверхности. Свет может выйти из воды (оптически более плотной среды) в воздух (оптически менее плотную среду) только в том случае, если угол падения луча на границу раздела сред меньше предельного угла полного внутреннего отражения $\alpha_{пр}$.
При угле падения, равном или большем $\alpha_{пр}$, луч света полностью отражается обратно в воду. Таким образом, свет выходит из воды только через круглое световое пятно на поверхности, центр которого находится прямо над источником. Чтобы свет не выходил, нужно закрыть это пятно непрозрачной пластиной. Минимальный радиус такой пластины $\text{R}$ будет равен радиусу этого светового пятна.
Край светового пятна образуют лучи, которые падают на границу раздела вода-воздух под предельным углом $\alpha_{пр}$. Для этого угла, согласно закону преломления света (закону Снеллиуса), угол преломления $\beta$ равен $90^\circ$.
$n \sin\alpha_{пр} = n_{возд} \sin\beta$
$1,3 \cdot \sin\alpha_{пр} = 1 \cdot \sin(90^\circ)$
Отсюда находим синус предельного угла:
$\sin\alpha_{пр} = \frac{1}{1,3}$
Рассмотрим прямоугольный треугольник, катетами которого являются глубина воды $\text{h}$ и искомый радиус $\text{R}$. Угол, противолежащий катету $\text{R}$ (относительно вершины треугольника у источника света), равен предельному углу $\alpha_{пр}$.
Из определения тангенса в прямоугольном треугольнике имеем:
$\tan\alpha_{пр} = \frac{R}{h}$
Следовательно, искомый радиус равен:
$R = h \cdot \tan\alpha_{пр}$
Чтобы найти $\tan\alpha_{пр}$, воспользуемся основным тригонометрическим тождеством $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$.
$\cos\alpha_{пр} = \sqrt{1 - \sin^2\alpha_{пр}} = \sqrt{1 - \left(\frac{1}{1,3}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{1}{1,69}} = \sqrt{\frac{1,69 - 1}{1,69}} = \sqrt{\frac{0,69}{1,69}} = \frac{\sqrt{0,69}}{1,3}$
Теперь можем найти тангенс:
$\tan\alpha_{пр} = \frac{\sin\alpha_{пр}}{\cos\alpha_{пр}} = \frac{1/1,3}{\sqrt{0,69}/1,3} = \frac{1}{\sqrt{0,69}}$
Подставляем найденное выражение для тангенса в формулу для радиуса $\text{R}$:
$R = h \cdot \frac{1}{\sqrt{0,69}}$
Произведем вычисления, подставив числовые значения:
$R = 15 \text{ см} \cdot \frac{1}{\sqrt{0,69}} \approx 15 \text{ см} \cdot \frac{1}{0,83066} \approx 18,058 \text{ см}$
Округлим результат до одного знака после запятой.
$R \approx 18,1 \text{ см}$

Ответ: $R \approx 18,1$ см.