Номер 884, страница 123, часть 1 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Парфентьева

Часть 1. 11 класс. Оптика. Световые волны. Скорость света. Законы отражения и преломления света - номер 884, страница 123.

Условие.

884. Н Равнобедренная стеклянная призма с малым углом $\alpha$ при основании помещена в параллельный пучок лучей, падающих нормально на основание призмы. Длина основания 5 см. За призмой находится экран на расстоянии 1 м от основания, на котором наблюдается неосвещенный участок шириной 6,4 см. Определите угол $\alpha$.

Решение.

Дано:

Длина основания призмы, $a = 5$ см

Расстояние от основания до экрана, $L = 1$ м

Ширина неосвещенного участка, $H = 6,4$ см

Показатель преломления воздуха, $n_1 = 1$

Призма стеклянная, поэтому примем стандартное значение показателя преломления стекла, $n_2 = n = 1,5$

Перевод в систему СИ:
$a = 0,05$ м
$L = 1$ м
$H = 0,064$ м

Найти:

Угол при основании призмы, $\alpha$.

Решение:

Параллельный пучок лучей падает нормально на основание равнобедренной призмы. Пройдя сквозь призму, лучи выходят через боковые грани. Рассмотрим ход луча, вошедшего в призму.

Поскольку лучи падают перпендикулярно основанию, они не преломляются на входе в призму и распространяются внутри неё параллельно высоте. Луч, падающий на боковую грань, имеет угол падения $\text{i}$. Из геометрии призмы следует, что угол падения на боковую грань равен углу при основании призмы: $i = \alpha$.

При выходе луча из призмы (из стекла в воздух) происходит преломление в соответствии с законом Снеллиуса:
$n \sin{i} = n_1 \sin{r}$
где $\text{n}$ - показатель преломления стекла, $n_1=1$ - показатель преломления воздуха, $\text{r}$ - угол преломления.
$n \sin{\alpha} = \sin{r}$

Угол отклонения луча $\delta$ от его первоначального направления (перпендикулярного основанию) равен:
$\delta = r - i = r - \alpha$

Поскольку угол $\alpha$ мал (по условию), то и угол $\text{r}$ также будет мал. Для малых углов можно использовать приближения: $\sin{\alpha} \approx \alpha$ и $\sin{r} \approx r$. Тогда закон преломления примет вид:
$n \alpha \approx r$
А угол отклонения:
$\delta \approx n\alpha - \alpha = (n-1)\alpha$

Лучи, проходящие через левую и правую половины призмы, отклоняются в противоположные стороны (от центральной оси). Это приводит к образованию неосвещенного участка на экране в центре.

Ширина этого участка определяется расхождением лучей, прошедших вблизи вершины призмы. Рассмотрим лучи, проходящие вблизи центра основания (и, соответственно, вблизи вершины). Высота призмы $h_0$ может быть найдена из геометрии:
$h_0 = \frac{a/2}{\tan{\alpha}} = \frac{a}{2} \cot{\alpha}$

Для малого угла $\alpha$: $\cot{\alpha} \approx \frac{1}{\alpha}$, поэтому $h_0 \approx \frac{a}{2\alpha}$.

Лучи, выходящие из вершины призмы, проходят до экрана расстояние не $\text{L}$, а $L' = L - h_0$.

Полуширина неосвещенного участка на экране будет равна смещению луча, вышедшего из вершины, от центральной оси:
$\frac{H}{2} = L' \tan{\delta}$

Для малого угла отклонения $\delta$: $\tan{\delta} \approx \delta$.
$\frac{H}{2} \approx L' \delta = (L - h_0) (n-1)\alpha$

Подставим выражение для высоты $h_0$:
$\frac{H}{2} \approx (L - \frac{a}{2\alpha}) (n-1)\alpha = L(n-1)\alpha - \frac{a}{2\alpha}(n-1)\alpha = L(n-1)\alpha - \frac{a(n-1)}{2}$

Отсюда полная ширина неосвещенного участка:
$H = 2L(n-1)\alpha - a(n-1) = (2L\alpha - a)(n-1)$

Выразим из этой формулы искомый угол $\alpha$:
$H + a(n-1) = 2L(n-1)\alpha$
$\alpha = \frac{H + a(n-1)}{2L(n-1)}$

Подставим числовые значения:
$\alpha = \frac{0,064 + 0,05(1,5 - 1)}{2 \cdot 1 \cdot (1,5 - 1)} = \frac{0,064 + 0,05 \cdot 0,5}{2 \cdot 0,5} = \frac{0,064 + 0,025}{1} = 0,089$ рад.

Ответ: $\alpha = 0,089$ рад (или примерно $5,1^\circ$).