Номер 876, страница 122, часть 1 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Парфентьева

Часть 1. 11 класс. Оптика. Световые волны. Скорость света. Законы отражения и преломления света - номер 876, страница 122.

Условие.

876. [716] Пучок параллельных лучей шириной 30 см падает из однородной прозрачной среды на плоскую границу с воздухом под углом 30° (рис. 188). Определите показатель преломления среды, если ширина пучка в воздухе стала равна 25 см.

Рис. 188

Решение.

Дано

Ширина пучка в первой среде $d_1 = 30$ см
Ширина пучка в воздухе $d_2 = 25$ см
Угол падения $\alpha = 30^\circ$
Показатель преломления воздуха $n_2 = 1$

$d_1 = 0.3$ м
$d_2 = 0.25$ м

Найти:

Показатель преломления первой среды $n_1 = n$

Решение

Рассмотрим геометрию падения и преломления пучка света на границе раздела двух сред. Пусть $\text{L}$ — это расстояние вдоль границы раздела, на которое падает пучок света. Ширина пучка $\text{d}$ связана с этим расстоянием и углом луча к нормали.

В первой среде ширина пучка $d_1$ связана с расстоянием $\text{L}$ и углом падения $\alpha$ следующим соотношением, которое следует из рассмотрения прямоугольного треугольника, где $\text{L}$ является гипотенузой:

$d_1 = L \cos \alpha$

Аналогично, в воздухе ширина пучка $d_2$ связана с тем же расстоянием $\text{L}$ и углом преломления $\beta$:

$d_2 = L \cos \beta$

Из этих двух выражений мы можем выразить $\text{L}$ и приравнять их:

$L = \frac{d_1}{\cos \alpha} = \frac{d_2}{\cos \beta}$

Отсюда можно найти косинус угла преломления:

$\cos \beta = \frac{d_2}{d_1} \cos \alpha$

Согласно закону преломления света (закону Снеллиуса):

$n_1 \sin \alpha = n_2 \sin \beta$

Поскольку $n_1=n$ и $n_2=1$ (для воздуха), получаем:

$n \sin \alpha = \sin \beta$

Нам нужно найти $\text{n}$, для чего требуется $\sin \beta$. Мы можем найти его, используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2 \beta + \cos^2 \beta = 1$.

$\sin \beta = \sqrt{1 - \cos^2 \beta}$

Подставим в это выражение найденное ранее соотношение для $\cos \beta$:

$\sin \beta = \sqrt{1 - \left(\frac{d_2}{d_1} \cos \alpha\right)^2}$

Теперь подставим это выражение для $\sin \beta$ в закон Снеллиуса:

$n \sin \alpha = \sqrt{1 - \left(\frac{d_2}{d_1} \cos \alpha\right)^2}$

И выразим искомый показатель преломления $\text{n}$:

$n = \frac{\sqrt{1 - \left(\frac{d_2}{d_1} \cos \alpha\right)^2}}{\sin \alpha}$

Подставим числовые значения из условия задачи:

$d_1 = 30$ см, $d_2 = 25$ см, $\alpha = 30^\circ$, $\sin 30^\circ = 0.5$, $\cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

$n = \frac{\sqrt{1 - \left(\frac{25}{30} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2}}{0.5} = 2\sqrt{1 - \left(\frac{5}{6} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2} = 2\sqrt{1 - \left(\frac{5\sqrt{3}}{12}\right)^2}$

$n = 2\sqrt{1 - \frac{25 \cdot 3}{144}} = 2\sqrt{1 - \frac{75}{144}} = 2\sqrt{\frac{144-75}{144}} = 2\sqrt{\frac{69}{144}}$

$n = 2 \cdot \frac{\sqrt{69}}{12} = \frac{\sqrt{69}}{6}$

$n \approx \frac{8.307}{6} \approx 1.3845$

Округляя до сотых, получаем $n \approx 1.38$.

Ответ: показатель преломления среды равен приблизительно $1.38$.