Номер 875, страница 122, часть 1 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Парфентьева

Часть 1. 11 класс. Оптика. Световые волны. Скорость света. Законы отражения и преломления света - номер 875, страница 122.

Условие.

875. [715] Луч падает на плоскопараллельную стеклянную пластинку толщиной $2 \text{ см}$ под углом $30^\circ$ (рис. 187). На какое расстояние сместится луч:

1) пройдя через пластинку;

2) испытав двойное отражение от её граней?

Рис. 187

Решение.

Дано:

Угол падения луча, $\alpha = 30^\circ$
Толщина пластинки, $d = 2$ см
Показатель преломления стекла (стандартное значение), $n_2 = n = 1.5$
Показатель преломления воздуха, $n_1 = 1$

Перевод в систему СИ:

$d = 0.02$ м

Найти:

1) Смещение луча после прохождения через пластинку, $x_1$
2) Смещение луча после двойного отражения, $x_2$

Решение:

Для решения задачи будем использовать закон преломления света (закон Снеллиуса) и геометрические построения.

1) пройдя через пластинку

Когда луч падает на границу раздела двух сред (воздух-стекло), он преломляется. Угол преломления $\beta$ можно найти из закона Снеллиуса:$n_1 \sin\alpha = n_2 \sin\beta$Так как $n_1 = 1$ (для воздуха) и $n_2 = n$ (для стекла):$\sin\alpha = n \sin\beta$Отсюда найдем синус угла преломления:$\sin\beta = \frac{\sin\alpha}{n} = \frac{\sin 30^\circ}{1.5} = \frac{0.5}{1.5} = \frac{1}{3}$

Вышедший из пластинки луч параллелен падающему. Смещение $x_1$ вышедшего луча относительно падающего можно найти по формуле, которая выводится из геометрии прохождения луча:$x_1 = \frac{d \sin(\alpha - \beta)}{\cos\beta}$

Нам понадобится значение $\cos\beta$. Найдем его из основного тригонометрического тождества $\sin^2\beta + \cos^2\beta = 1$:$\cos\beta = \sqrt{1 - \sin^2\beta} = \sqrt{1 - \left(\frac{1}{3}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{1}{9}} = \sqrt{\frac{8}{9}} = \frac{2\sqrt{2}}{3}$

Теперь можно рассчитать смещение $x_1$. Для этого воспользуемся формулой синуса разности: $\sin(\alpha - \beta) = \sin\alpha\cos\beta - \cos\alpha\sin\beta$.$x_1 = d \frac{\sin\alpha\cos\beta - \cos\alpha\sin\beta}{\cos\beta} = d (\sin\alpha - \cos\alpha\tan\beta)$Подставим известные значения $\sin\alpha = 0.5$, $\cos\alpha = \cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$ и найденные $\sin\beta = \frac{1}{3}$, $\cos\beta = \frac{2\sqrt{2}}{3}$.$x_1 = 2 \text{ см} \cdot \left(\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1/3}{2\sqrt{2}/3}\right) = 2 \cdot \left(\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{2\sqrt{2}}\right) = 2 \cdot \left(\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{4\sqrt{2}}\right)$$x_1 = 1 - \frac{2\sqrt{3}}{4\sqrt{2}} = 1 - \frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{2}} = 1 - \frac{\sqrt{6}}{4}$$x_1 \approx 1 - \frac{2.449}{4} \approx 1 - 0.612 = 0.388 \text{ см} \approx 0.39 \text{ см}$

Ответ: смещение луча после прохождения через пластинку составляет $x_1 = 1 - \frac{\sqrt{6}}{4} \approx 0.39$ см.

2) испытав двойное отражение от её граней

В этом случае луч входит в пластинку, дважды отражается от ее внутренних граней и затем выходит наружу. Вышедший луч также будет параллелен падающему.

Рассмотрим горизонтальное смещение луча вдоль поверхности пластинки. При каждом проходе через толщу пластинки (от одной грани к другой) луч смещается по горизонтали на расстояние $\Delta l = d \tan\beta$.После входа, двух отражений и выхода луч пройдет толщу пластинки три раза. Общее горизонтальное смещение точки выхода D относительно вертикали, проходящей через точку входа A, составит:$L = 3 \cdot \Delta l = 3d \tan\beta$

Если бы пластинки не было, луч прошел бы по прямой. Горизонтальное смещение на уровне нижней грани составило бы $L_0 = d \tan\alpha$.Полное боковое смещение $x_2$ — это перпендикулярное расстояние между исходным направлением луча и конечным. Оно равно модулю разности горизонтальных смещений луча с преломлением и без, умноженному на $\cos\alpha$:$x_2 = |3d \tan\beta - d \tan\alpha| \cos\alpha = d|3\tan\beta\cos\alpha - \sin\alpha|$

Подставим значения, используя $\tan\beta = \frac{\sin\beta}{\cos\beta} = \frac{1/3}{2\sqrt{2}/3} = \frac{1}{2\sqrt{2}}$:$x_2 = 2 \text{ см} \cdot \left|3 \cdot \frac{1}{2\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2}\right| = 2 \cdot \left|\frac{3\sqrt{3}}{4\sqrt{2}} - \frac{1}{2}\right| = \left|\frac{3\sqrt{3}}{2\sqrt{2}} - 1\right|$$x_2 = \left|\frac{3\sqrt{6}}{4} - 1\right|$Поскольку $3\sqrt{6} \approx 3 \cdot 2.449 = 7.347 > 4$, модуль можно убрать.$x_2 = \frac{3\sqrt{6}}{4} - 1 \approx \frac{7.347}{4} - 1 \approx 1.837 - 1 = 0.837 \text{ см} \approx 0.84 \text{ см}$

Ответ: смещение луча после двойного отражения составляет $x_2 = \frac{3\sqrt{6}}{4} - 1 \approx 0.84$ см.