Номер 868, страница 121, часть 1 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Парфентьева

Часть 1. 11 класс. Оптика. Световые волны. Скорость света. Законы отражения и преломления света - номер 868, страница 121.

Условие.

868. [708] К зеркалу, расположенному под углом $135^{\circ}$ к полу (рис. 186), подходит человек ростом 1,6 м со скоростью $2 \text{ м/с}$. С какой скоростью движется его изображение в зеркале и на каком расстоянии от зеркала человек начинает видеть свое изображение?

Рис. 186

Решение.

Дано:

Угол между зеркалом и полом: $\beta = 135^\circ$

Рост человека: $h = 1,6 \text{ м}$

Скорость человека: $v = 2 \text{ м/с}$

Найти:

$v_{из}$ - скорость движения изображения человека?

$\text{d}$ - расстояние от зеркала, на котором человек начинает видеть своё изображение?

Решение:

Задача состоит из двух частей. Решим их по порядку.

1. С какой скоростью движется его изображение в зеркале?

Скорость изображения в плоском зеркале по величине равна скорости самого объекта. Чтобы доказать это, введем систему координат. Пусть точка пересечения зеркала с полом находится в начале координат (0,0). Пол совпадает с осью Ox, а человек движется вдоль этой оси. Угол, который зеркало составляет с полом, равен $135^\circ$. Однако, чтобы человек мог видеть свое отражение, находясь перед зеркалом, он должен находиться в области острого угла между зеркалом и полом. Острый угол $\alpha$ равен $\alpha = 180^\circ - 135^\circ = 45^\circ$. Таким образом, уравнение зеркальной поверхности в нашей системе координат будет $y = x \cdot \tan(45^\circ) = x$.

Человек движется горизонтально со скоростью $\vec{v}$. Его положение в любой момент времени можно описать вектором $\vec{r} = (x(t), y_0)$. В нашем случае человек идет по полу, поэтому его координаты $(x_p(t), h_p)$, где $x_p(t)$ - меняющаяся координата, а $h_p$ - высота рассматриваемой точки тела человека. Скорость человека $\vec{v}_p = (\frac{dx_p}{dt}, 0) = (-v, 0)$, так как он приближается к зеркалу (к началу координат).

Изображение точки $(x, y)$ в зеркале, заданном уравнением $y=x$, находится в точке $(y, x)$. Следовательно, координаты точки изображения человека будут $(h_p, x_p(t))$.

Вектор скорости изображения $\vec{v}_{из}$ найдем, продифференцировав координаты изображения по времени:

$\vec{v}_{из} = (\frac{d(h_p)}{dt}, \frac{dx_p(t)}{dt})$

Так как высота точки $h_p$ не меняется, ее производная по времени равна нулю. Производная $x_p(t)$ по времени - это скорость человека по оси x, то есть $-v$.

$\vec{v}_{из} = (0, -v)$

Модуль (величина) скорости изображения равен:

$v_{из} = |\vec{v}_{из}| = \sqrt{0^2 + (-v)^2} = v$

Таким образом, скорость изображения равна скорости человека.

$v_{из} = 2 \text{ м/с}$

Ответ: Скорость изображения человека в зеркале равна 2 м/с.

2. На каком расстоянии от зеркала человек начинает видеть своё изображение?

Будем считать, что "видеть свое изображение" означает видеть свое тело целиком, от ног до головы. Для этого человек должен видеть в зеркале как минимум изображение своих ног. Найдем условие, при котором человек видит изображение своих ног.

Используем ту же систему координат, что и в первом пункте. Человек находится на расстоянии $\text{L}$ от точки касания зеркала и пола. Его глаза находятся в точке E с координатами $(L, h)$, а ступни — в точке F с координатами $(L, 0)$.

Изображение ступней F' в зеркале $y=x$ будет находиться в точке с координатами $(0, L)$.

Человек увидит изображение своих ступней, если световой луч, исходящий из точки F', сможет попасть в его глаз E, отразившись от зеркала. По законам геометрической оптики, это означает, что отрезок, соединяющий глаз E и изображение ступней F', должен пересекать плоскость зеркала в некоторой точке M. Зеркало находится в области $x \ge 0$.

Найдем уравнение прямой, проходящей через точки E$(L, h)$ и F'$(0, L)$.

$\frac{x - 0}{L - 0} = \frac{y - L}{h - L} \implies x(h-L) = L(y-L)$

Найдем точку пересечения этой прямой с зеркалом, подставив в уравнение прямой $y=x$:

$x_M(h-L) = L(x_M-L)$

$x_M h - x_M L = L x_M - L^2$

$L^2 = L x_M + x_M L - x_M h$

$L^2 = x_M(2L - h)$

$x_M = \frac{L^2}{2L-h}$

Точка отражения M существует на зеркале, если ее координата $x_M \ge 0$. Так как $L^2$ всегда положительно, необходимо, чтобы знаменатель был положителен:

$2L - h > 0 \implies L > \frac{h}{2}$

Это означает, что человек может видеть свои ноги, только когда расстояние по полу до зеркала $\text{L}$ больше половины его роста. Когда человек подходит к зеркалу, расстояние $\text{L}$ уменьшается. Он видит свое изображение, пока $L > h/2$, и перестает видеть ноги в тот момент, когда $\text{L}$ становится равным $h/2$. Фраза "начинает видеть" может быть интерпретирована как это пороговое расстояние. Если бы человек удалялся от зеркала, он бы начал видеть ноги именно на этом расстоянии.

Найдем это пороговое расстояние $\text{L}$:

$L = \frac{h}{2} = \frac{1,6 \text{ м}}{2} = 0,8 \text{ м}$

Это расстояние вдоль пола. Вопрос задачи — "на каком расстоянии от зеркала". Обычно под этим подразумевается кратчайшее (перпендикулярное) расстояние. Найдем расстояние $\text{d}$ от человека (например, от его ступней в точке $(L, 0)$) до прямой $y=x$ (или $x-y=0$).

$d = \frac{|L - 0|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2}} = \frac{L}{\sqrt{2}}$

Подставим найденное значение $\text{L}$:

$d = \frac{0,8}{\sqrt{2}} = \frac{0,8\sqrt{2}}{2} = 0,4\sqrt{2} \text{ м}$

Вычислим приближенное значение:

$d \approx 0,4 \cdot 1,414 = 0,5656 \text{ м} \approx 0,57 \text{ м}$

Ответ: Человек начинает видеть свое изображение на расстоянии примерно 0,57 м от зеркала.