Вариант 3, страница 30 - гдз по физике 11 класс самостоятельные и контрольные работы Ерюткин, Ерюткина

Самостоятельная работа. Элементы СТО. Элементы теории относительности - страница 30.

Условие.

Вариант 3

1. С какой скоростью должна лететь ракета, чтобы время в ней замедлилось в 3 раза?

2. Электрон движется со скоростью 0,8с. Определите его кинетическую энергию и энергию покоя.

Решение.

1. Замедление времени в движущейся системе отсчета относительно неподвижной описывается формулой из специальной теории относительности:
$ \Delta t = \frac{\Delta t_0}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} $
где $ \Delta t $ — время, прошедшее в неподвижной системе отсчета, $ \Delta t_0 $ — собственное время, прошедшее в движущейся системе (в ракете), $ v $ — скорость ракеты, а $ c $ — скорость света.
Согласно условию задачи, время в ракете замедлилось в 3 раза. Это означает, что отношение времени в неподвижной системе ко времени в ракете равно 3:
$ \frac{\Delta t}{\Delta t_0} = 3 $
Подставим это значение в формулу релятивистского замедления времени:
$ 3 = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} $
Чтобы найти скорость $ v $, возведем обе части уравнения в квадрат:
$ 9 = \frac{1}{1 - \frac{v^2}{c^2}} $
Теперь выразим $ v $:
$ 1 - \frac{v^2}{c^2} = \frac{1}{9} $
$ \frac{v^2}{c^2} = 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9} $
$ \frac{v}{c} = \sqrt{\frac{8}{9}} = \frac{\sqrt{8}}{3} = \frac{2\sqrt{2}}{3} $
$ v = \frac{2\sqrt{2}}{3}c $
Вычислим приближенное значение скорости:
$ v \approx \frac{2 \times 1.414}{3}c \approx 0.943c $
Или в единицах СИ:
$ v \approx 0.943 \times (3 \times 10^8 \text{ м/с}) \approx 2.83 \times 10^8 \text{ м/с} $
Ответ: Ракета должна лететь со скоростью $ v = \frac{2\sqrt{2}}{3}c $, что составляет примерно $ 0.943c $ или $ 2.83 \times 10^8 $ м/с.

2.
Дано:

Скорость электрона $ v = 0.8c $
Масса покоя электрона $ m_e = 9.11 \times 10^{-31} $ кг
Скорость света в вакууме $ c = 3 \times 10^8 $ м/с

Найти:

Энергию покоя $ E_0 $ — ?
Кинетическую энергию $ E_k $ — ?

Решение:

1. Энергия покоя ($ E_0 $) — это энергия, которой обладает тело в состоянии покоя. Она вычисляется по формуле Эйнштейна:
$ E_0 = m_e c^2 $
Подставляем числовые значения:
$ E_0 = (9.11 \times 10^{-31} \text{ кг}) \times (3 \times 10^8 \text{ м/с})^2 = 9.11 \times 10^{-31} \times 9 \times 10^{16} \text{ Дж} = 81.99 \times 10^{-15} \text{ Дж} \approx 8.2 \times 10^{-14} \text{ Дж} $
2. Релятивистская кинетическая энергия ($ E_k $) — это разность между полной энергией движущегося тела ($ E $) и его энергией покоя ($ E_0 $):
$ E_k = E - E_0 = (\frac{m_e c^2}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}) - m_e c^2 = E_0 (\frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} - 1) $
Вычислим знаменатель релятивистского множителя, учитывая, что $ v = 0.8c $:
$ \sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}} = \sqrt{1 - \frac{(0.8c)^2}{c^2}} = \sqrt{1 - 0.8^2} = \sqrt{1 - 0.64} = \sqrt{0.36} = 0.6 $
Теперь можем рассчитать кинетическую энергию:
$ E_k = E_0 (\frac{1}{0.6} - 1) = E_0 (\frac{5}{3} - 1) = E_0 \times \frac{2}{3} $
$ E_k = (8.2 \times 10^{-14} \text{ Дж}) \times \frac{2}{3} \approx 5.47 \times 10^{-14} \text{ Дж} $
Ответ: Энергия покоя электрона $ E_0 \approx 8.2 \times 10^{-14} $ Дж. Кинетическая энергия электрона $ E_k \approx 5.47 \times 10^{-14} $ Дж.